Физиология человека

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тихоокеанский государственный университет»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

Хабаровск 2012

Содержание

Задание № 2. Используя классическое определение вероятности, вычислить вероятность случайного события

Задание № 12. Используя формулу полной вероятности, вычислить вероятность случайного события

Задание № 22. Найти вероятность события, используя формулу Бернулли

Задание № 32 . Составить закон распределения случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины , построить ее график. Найти числовые характеристики , ,

Задание № 42. По выборочным статистическим данным проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности

Задание № 52. Составить уравнение регрессии  на  и построить линию регрессии

Список литературы

Задание № 2. Используя классическое определение вероятности, вычислить вероятность случайного события

Из колоды карт в 36 листов вытягивают 6 карт. Найти вероятность того, что среди этих карт 4 дамы и 2 короля.

Решение. Вероятность того, что среди 6-ти карт, вытянутых из колоды в 36 листов, находятся 4 дамы и 2 короля, найдем по формуле:

 ,

где  - число благоприятных исходов события А;  - число всевозможных событий, образующих полную группу.

Число всевозможных исходов выбора 6-ти карт из 36 листов равно числу сочетаний из 36 карт по 6 (все выборки отличаются только составом):

Так как число карт 36, то она содержит по 4 карты каждого достоинства.

Число благоприятных исходов выбора 4-х дам из 4-х возможных равно единице (), а число благоприятных исходов выбора 2-х королей из 4-х возможных равно числу сочетаний из 4-х карт по 2:

Следовательно, вероятность того, что среди 6-ти карт, вытянутых из колоды в 36 листов, находятся 4 дамы и 2 короля равна:

.

Ответ: .

Задание № 12. Используя формулу полной вероятности, вычислить вероятность случайного события

В банке работают 5 кассиров и 2 ученика кассира, вероятность допустить ошибку при расчете платежной ведомости для кассира равна 0,05,для ученика кассира - 0,25. Найти вероятность того, что в платежной ведомости будет обнаружена ошибка.

Решение

Формула полной вероятности:

,

где , ,…,  - вероятности событий , , …,, которые образуют полную группу несовместных событий и вероятность события  может наступить лишь при условии появления одного из них.

Пусть событие А = {в платежной ведомости будет обнаружена ошибка}.

Введем систему гипотез:

H₁ = {ошибка будет допущена кассиром};

H₂ = {ошибка будет допущена учеником кассира}.

Так как в банке работают 5 кассиров и 2 ученика кассира, то

; .

Согласно условию задачи условные вероятности равны

;

Применим формулу полной вероятности:

Ответ: .

Задание № 22. Найти вероятность события, используя формулу Бернулли

математический дисперсия регрессия уравнение

На полке магазина располагаются 10 продуктов. Вероятность того, что спрос на каждый продукт снизится, равна 0,7. Найти вероятность того, что в течение некоторого времени произойдет снижение спроса: а) на 8 продуктов, б) хотя бы на один продукт.

Решение

Формула Бернулли :

,

Где  - вероятность появления события в каждом из  испытаний;

 - вероятность не появления события в каждом из  испытаний.

а) Найдем вероятность того, что из 10 продуктов в течение некоторого времени произойдет снижение спроса на 8 продуктов.

б) Найдем вероятность того, что из 10 продуктов в течение некоторого времени произойдет снижение спроса хотя бы на один продукт. Событие состоит в том, что в течение некоторого времени произойдет снижение спроса или на 1 продукт, или на 2 продукта,…, или на 10 продуктов, т.е. величина количества продуктов на которые произойдет снижение спроса, может принимать значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 или .

Ответ: а) 0,233474441; б) 0,9999940951.

Задание № 32 . Составить закон распределения случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины , построить ее график. Найти числовые характеристики , ,

В партии из 14 деталей имеются 2 нестандартные. Наугад отобраны 3 детали. Составить закон распределения случайной величины X - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики , , .

Решение

Очевидно, что число стандартных деталей среди отобранных 3-х деталей будет 1, 2, 3.

Рассмотрим все возможные случаи выбора стандартных деталей среди отобранных 3-х из партии в 14 деталей, где имеются 2 нестандартные.

Число всевозможных способов выбора 3-х деталей из 14 равно числу сочетаний из 14 деталей по 3 (все выборки отличаются только составом):

 - одна стандартная деталь среди трех отобранных.

Число благоприятных способов выбора одной детали из 12-ти стандартных и 2-х деталей из 2-х нестандартных деталей:

Вероятность выбора одной стандартной детали среди трех отобранных найдем по формуле классической вероятности:

 - две стандартные детали среди трех отобранных.

Число благоприятных способов выбора двух деталей из 12-ти стандартных и одной детали из 2-х нестандартных деталей:

 - три стандартные детали среди трех отобранных.

Число благоприятных способов выбора трех деталей из 12-ти стандартных:

Запишем ряд распределения числа стандартных деталей в выборке:

Проверка:

Составим функцию распределения случайной величины  и построим ее график.

, если ;

если ,

;

если ,

;

если ,

Функция распределения случайной величины определяется следующим образом:

Построим график функции распределения случайной величины.

Формула для нахождения математического ожидания:

.

Формула для нахождения дисперсии:

, где

Среднее квадратическое отклонение  случайной величины  определяется равенством: .

Ответ: ; ; .

Задание № 42. По выборочным статистическим данным проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности

В ОТК были измерены диаметры 300 валиков из партии, изготовленной одним станком-автоматом. Отклонения измеренных диаметров от номинала (мм) даны в табл. 8. На уровне значимости  проверить гипотезу, что отклонения диаметров от номинала можно описать нормальным распределением, используя критерий согласия Пирсона.

Таблица 8

Решение

1. Перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианты  среднее арифметическое концов интервала.

; ; ;  и т.д.

Получили распределение:

2. Вычислим выборочную среднюю  и выборочное среднее.

Результаты вычислений представим в таблице.

Выборочную среднюю вычислим по формуле:

.

Квадратичное отклонение вычислим по формуле:

.

. Вычислим концы интервалов  по формуле:

,

где , .

Наименьшее значение  полагаем равным , наибольшее значение  полагаем равным .

. Вычислим теоретические частоты по формуле:

,

где  - вероятности попадания  в интервалы .

 - интегральная функция Лапласа: ; .

Заполним таблицу:

. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона:

а) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу.

1

2

3

4

5

6

1

3

4,5

0,5

9

2

2

8

8,04

0,0002

64

7,9602

3

15

17,01

0,2375

225

13,2275

4

35

29,76

0,9226

1225

41,1626

5

40

42,96

0,2039

1600

37,2439

6

60

52,53

1,0623

3600

68,5323

7

55

50,52

0,3973

3025

59,8773

8

30

41,04

2,9698

900

21,9298

9

25

27,57

0,2396

625

22,6696

10

14

15,3

0,1105

196

12,8105

11

8

7,02

0,1368

64

9,1168

12

7

3,75

2,8167

49

13,0667

3003009,5972309,5972

Графы 5 и 6 служат для контроля вычислений:

Получили значение , следовательно, вычисления произведены правильно.

б) По таблице критических точек распределения Пирсона, по уровню значимости  и числу степеней свободы  ( - число интервалов) находим критическую точку .

Так как , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности партии валиков принимаем. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо. Это означает, что данные наблюдений отклонения диаметров валиков от номинала согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Задание № 52. Составить уравнение регрессии  на  и построить линию регрессии

Дана выборка двумерной случайной величины .

Требуется: a) Построить корреляционное поле.

b) Вычислить выборочный коэффициент корреляции.

c) Составить уравнение регрессии  на  и построить линию регрессии.

Таблица

Решение

a) Построим корреляционное поле, для этого на плоскости отмечаем точки с координатами .

Рис. 1 Корреляционное поле

b) Для нахождения выборочного коэффициента корреляции применим формулу:

,

где  и - выборочные средние;  и  выборочные средние квадратические отклонения.

 и ;

 и ;

 и .

Найдем выборочные средние и выборочные средние квадратические отклонения.

;

;

; ;

; ;

.

Выборочный коэффициент корреляции:

.

Выборочный коэффициент корреляции  очень близок к единице, связь между  и  по таблице Чеддока очень высокая. Знак минус указывает на обратную связь между  и .

c) Составим уравнение регрессии  на  и построим линию регрессии:

,

Где , .

;

Уравнение регрессии  на  имеет вид:

На корреляционном поле построим линию регрессии.

Ответ: ; .

Список литературы

1. Математика (теория вероятностей и математическая статистика): методические указания и задания к выполнению контрольной работы № 2 для студентов экономических специальностей заочного ускоренного факультета / сост. Т.М. Попова, М.В. Червякова, Т.Н. Ряйсянен, Т.Г. Уленгова, Е.А. Битехтина, И.К. Искандеров.- Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2010.-44 с.