Совместность и решение системы линейных уравнений
Задача
Дана система линейных уравнений 
Доказать ее совместность и решить тремя
способами: 1) методом Гаусса;
2)
средствами
матричного исчисления; 3) по правилу Крамера.
Решение:
Согласно правила Крамера система m
линейных уравнений с n
неизвестными совместна, если m=n
и det|A|
≠ 0.
Вычислим определитель матрицы А, составленной из
коэффициентов при неизвестной:
Следовательно система уравнений совместна.
Найдем ее решение:
. Методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу, содержащую также
столбец свободных членов
и приведем ее к треугольному виду путем
равносильных преобразований.
Из последней строки получаем
.
Подставим полученное значение во второе уравнение: 
.
Откуда 
.
Из первого уравнения 
. Следовательно, 
.
Решение системы: 
2. Средствами
матричного исчисления.
Исходная система уравнений в матричной форме
имеет вид: AX=B.
Ее решение можно записать в виде X=A-1B,
где A-1
- обратная матрица к матрице коэффициентов системы.
Для решения системы необходимо вычислить
обратную матрицу. Вычислим определитель исходной матрицы:
Вычислим алгебраические дополнения элементов
исходной матрицы:
Составим матрицу из полученных дополнений:
И запишем обратную матрицу:
Найдем решение матричного уравнения:
Решение системы:
. По правилу Крамера.
Вычислим главный определитель
Для вычисления переменных 
найдем
определители:
Найдем переменные
Решение системы: