Самосопряженные расширения симметрических операторов в гильбертовом пространстве
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Индексы
дефекта
2. Преобразование
Кэли и формулы Неймана
3. Формула
Крейна для резольвент самосопряженных расширений заданного симметрического
оператора
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Чтобы получить симметрическое
расширение заданного оператора А нужно найти изометрическое расширение его
преобразования Кэли V. Для этого выберем в дефектных
подпространствах , два
подпространства, F и G, равных
размерностей и построим произвольный изометрический оператор V1 c областью
определения F и областью
значений G.
Определим, далее, линейный оператор с областью
определения и областью
значений формулами
при .
Очевидно, есть
изометрическое расширение V и при всевозможных изменениях F, G, V1 мы получим
все изометрические расширения оператора V и каждое по
одному разу.
Итак, чтобы найти некоторое
симметрическое расширение оператора
А, следует перейти к преобразованию Кэли оператора А, найти по описанному выше
методу некоторое расширение оператора V и, наконец,
вернуться к , выполнив
преобразование Кэли над .
1. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА
Определение: Всякую функцию , которая
каждому элементу относит
некоторый элемент , называют
оператором в пространстве Н с областью определения и областью
значений , состоящей
из всех , где пробегает
все .
Тождественный оператор, т.е.
оператор, переводящий каждый вектор сам в себя, будем обозначать . Область
определения и область значение оператора будем обозначать ,
соответственно.
Если оператор двум
различным элементам из относит
различные элементы, то имеет
обратный оператор, который элементам из относит элементы из . Обратный
оператор обозначают символом , таким образом,
, .
Определение: Оператор называется непрерывным
в точке (), если (); это
означает, что при любом существует
такое , что из , .
Если область определения оператора шире
области определения оператора , т.е. , и если для любого
элемента , то
оператор называют
расширением оператора ().
Определение. Оператор Т называется
линейным, если его область определения D есть
линейное многообразие и для любых и любых
комплексных .
Определение. Оператор V, заданный
на всем пространстве Н1(DV=H1) и
отображающий его на все пространство Н2 (),
называется изометрическим, если для любых .
Определение. Линейный оператор А
называется симметрическим, если
1) область определения DA
плотна
в Н и
2) для любых двух элементов f, g из DA имеет место
равенство
Определение. Значения параметра , для
которых обратный оператор существует,
определен всюду в и
ограничен, называют регулярными значениями оператора Т. Все остальные точки
комплексной плоскости образуют спектр оператора Т.
Определение. Резольвентой оператора
Т называют зависящий от параметра оператор ,
рассматриваемый на множестве всех тех значений , для которых он существует и для
которых его область определения, т.е. плотна в Н.
Пусть - произвольный линейный оператор.
Определение: число назовем
точкой регулярного типа оператора , если существует такое , что при
всех
.
Поэтому собственные значения
оператора не являются
для него точками регулярного типа.
Если точка регулярного типа оператора , то
оператор существует
и ограничен, и обратно, если оператор существует и ограничен, то есть точка
регулярного типа.
Если есть точка регулярного типа, то при
и любом имеет место
неравенство
.
Оно показывает, что множество точек
регулярного типа всегда открыто. Это множество точек называется полем
регулярности оператора .
Если есть симметрический оператор и , то при
любом
.
Отсюда видно, что верхняя и нижняя
половины -плоскости
являются связными компонентами поля регулярности любого симметрического
оператора.
Теорема: если есть
связная компонента поля регулярности линейного оператора , то
размерность подпространства одинакова для всех .
Условимся называть дефектным числом
линейного многообразия размерность
его ортогонального дополнения и будем писать
.
Определение: дефектное число
линейного многообразия для точек ,
принадлежащих данной связной компоненте поля регулярного оператора , называется
дефектным числом оператора в этой компоненте поля
регулярности. При этом называется
дефектным подпространством оператора для точки , а любой
отличный от нуля элемент дефектного подпространства называется дефектным
элементом.
Каждый симметрический оператор имеет два
дефектных числа, а именно одно () в нижней, другое () в верхней
полуплоскости. Их называют также индексами дефекта оператора :
Индексы дефекта симметрического
оператора образуют упорядоченную пару чисел .
Из приведенной выше теоремы вытекают
следующие три предложения.
°. Если симметрический оператор
имеет вещественную точку регулярного типа, то его дефектные числа равны: . То же
справедливо относительно изометрического оператора, если он имеет точку
регулярного типа на единичной окружности.
°. Если -
симметрический оператор, то любое невещественное число является для
сопряженного оператора собственным
значением: кратности , если , и
кратности , если .
°. Дефектные числа изометрического
оператора могут быть
определены с помощью следующих равенств:
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЭЛИ И ФОРМУЛЫ НЕЙМАНА
Пусть - какое-нибудь вещественное число, а
пробегает . Будем
полагать, что . Тогда
(1)
преобразование Кэли замкнутого
симметрического оператора . Оператор выражается
через оператор формулой . При этом
областью определения оператора является .
В силу формул (1) (2)
и поэтому . (2’)
Утверждение. Индексы дефекта оператора совпадают с
индексами дефекта оператора .
Действительно, по определению, . Но ,
следовательно, . С другой
стороны, снова по определению, и , так что .
Теорема 1. Если оператор V -
изометрический и многообразие плотно в Н, то определяемый
формулой (2’) оператор А - симметрический, а оператор V есть его
преобразование Кэли.
Теорема 2. Пусть А1 и А2
- симметрические операторы, а V1 и V2 - их
преобразования Кэли. Для того чтобы оператор А2 был расширением
оператора А1, необходимо и достаточно, чтобы оператор V2 был
расширением оператора V1.
Таким образом теорема 2 сводит
вопрос о симметрических расширениях заданного оператора А к вопросу об
изометрических расширениях его преобразования Кэли.
Известно, что замкнутые линейные
многообразия F и G могут
служить соответственно областью определения и изменения изометрического
оператора тогда и только тогда, когда равны их размерности, тогда
изометрические расширения оператора V могут быть
получены следующим образом.
Выберем в дефектных подпространствах
, два
подпространства, F и G, равных размерностей
и построим произвольный изометрический оператор V1 c областью
определения F и областью
значений G.
Определим, далее, линейный оператор с областью
определения и областью
значений формулами
при .
Очевидно, есть
изометрическое расширение V и при всевозможных изменениях F, G, V1 мы получим
все изометрические расширения оператора V и каждое по
одному разу.
Из приведенных выше рассуждений
следует, в частности, что оператор А является максимальным симметрическим
(самосопряженным) тогда и только тогда, когда его преобразование Кэли V является
максимальным изометрическим оператором.
Поэтому имеют место следующие
теоремы.
Теорема 3. Для того чтобы
симметрический оператор был максимальным, необходимо и достаточно, чтобы одно
из его дефектных чисел равнялось нулю. Для того чтобы симметрический оператор
был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы оба его дефектных числа
равнялись нулю.
Теорема 4. Пусть А - произвольный
симметрический оператор с индексами дефекта . Оператор А всегда можно расширить
до максимального. Если , то среди
таких расширений нет самосопряженных; если и , конечны, то любое максимальное
расширение оператора А является самосопряженным; если же дефектные числа , бесконечны
и равны, то среди максимальных расширений имеются как самосопряженные, так и
несамосопряженные.
Теорема. Пусть А - произвольный
симметрический оператор с областью определения DA, a и (>0) -
какая-нибудь пара его дефектных подпространств. Для области определения DA* оператора А*
имеет место следующее определение в виде прямой суммы трех линейных
многообразий:
Доказательство. Покажем, что любой
элемент f из DA* представим в
виде
f = f0 + g+ g, (1)
где f0 DA, gz , g ; при этом
следует заметить, что вместе с (1) будет иметь место формула
. (1’)
Пусть . Разложим элемент на
составляющие в ортогональных подпространствах и :
.
но ; поэтому
,
откуда заключаем, что
,
т.е.
или .
Для окончания доказательства теоремы
осталось установить, что представление (1) каждого элемента единственно.
Допуская противное, примем, что
. (2)
Применяя к обеим частям этого
равенства оператор А*, получаем
. (2’)
Умножая далее (2) на z и вычитая
из (2’), получаем
,
откуда, вследствие ортогональности
слагаемых, следует, что ; точно
также получим, что ;
следовательно, .
Теорема доказана.
Найдем теперь при любом . В
соответствии с (1) и (1’), имеем , где , и
.
Так как сумма первых трех слагаемых
вещественна, то
,
где в квадратных скобках снова стоит
вещественная величина, а потому окончательно находим
. (3)
В соответствии с формулой (3)
область DA* состоит из
трех (нелинейных) многообразий Г+ (совокупность элементов f, для
которых , Г-
((совокупность элементов f, для которых вещественно).
Элемент
принадлежит Г+, Г-
или Г0, смотря потому, будет ли
или (если ).
Найдем теперь для области
определения любого
симметрического расширения оператора А представление,
аналогичное формуле (1).
Чтобы подчеркнуть зависимость
подпространств F и G от z, будем
писать Fz и Gz. Таким
образом,
.
или, полагая
1= - V',
.
Из следует, что при
(4)
будет . (4')
Формулы (1) и (4) будем называть
соответственно первой и второй формулой Неймана.
Из первой формулы Неймана
непосредственно следует для размерности DA* по модулю DA формула:
. (5)
Вторая формула Неймана совместно с
равенством (4’) описывает все симметрические расширения заданного
оператора А. Если, в частности, оператор А имеет равные дефектные числа и есть его
самосопряженное расширение, то в формуле (4) элемент будет
пробегать все подпространство , а - все . Обратно,
если в (4) элемент пробегает
все , а - все , то
оператор будет
самосопряженным расширением оператора А. Если индексы дефекта оператора А и его
симметрического расширения суть (m, n) и (m-p, n-p), где , то из
второй формулы Неймана вытекает соотношение
. ФОРМУЛА КРЕЙНА ДЛЯ РЕЗОЛЬВЕНТ
САМОСОПРЯЖЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ ЗАДАННОГО СИММЕТРИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА
Теорема 1. Все самосопряженные
расширения оператора с равными и конечными дефектными числами имеют один и тот
же непрерывный спектр.
Теорема 2. При произвольном
расширении оператора с равными и конечными индексами дефекта (,) до
самосопряженного оператора кратность собственных значений повышает не более чем
на единиц (в
частности, новые собственные значения имеют кратность, не превосходящую ).
Теорема3. Если -
вещественная точка регулярного типа симметрического оператора А с индексом
дефекта , то
существует самосопряженное расширение оператора А, для которого число является
собственным значением кратности .
Доказательство. Пусть означает
линейное многообразие всех решений уравнения
.
В силу теоремы об инвариантности
дефектного числа в поле регулярности число измерений многообразия линейно
независимы, ибо в противном случае число было бы собственным значением оператора
А.
Положим
(1)
и пусть означает
оператор, совпадающий с оператором А* на , так что число будет
собственным значением оператора кратности .
Покажем, что оператор самосопряженный.
Для этого достаточно установить, что
оператор симметрический,
ибо из (1) следует, что
.
Если и - произвольные элементы из и
то
откуда следует симметричность
оператора.
В заключении отметим еще одну
теорему, относящуюся к числу решений уравнения
при вещественных .
Теорема. Если А - симметрический
оператор с индексами дефекта и - вещественное число, не
принадлежащее точечному спектру оператора А, то число решений
уравнения
(2)
не превосходит дефектного числа .
Для доказательства достаточно
построить с помощью многообразия решения уравнения (2) область по формуле
(1), где основа .
.
Теорема доказана.
Пусть А1 и А2
- два самосопряженных расширения симметричного оператора А с индексом дефекта ,
Всякий оператор С, удовлетворяющий
условиям
(3)
естественно называть общей частью
операторов А1 и А2.
Среди операторов С, удовлетворяющих
условиям (3), существует, очевидно, такой, который является расширением любой
общей части операторов А1 и А2; такой оператор назовем
максимальной общей частью операторов А1 и А2.
Максимальная общая часть либо является расширением оператора А, либо совпадает
с А; в последнем случае расширения А1 и А2 будем называть
взаимно простыми.
Для того чтобы расширения А1 и
А2 были взаимно простыми, необходимо и достаточно, чтобы
одновременное выполнение условий
(4)
вело принадлежность к .
Если максимальное число линейно
независимых по модулю векторов,
удовлетворяющих условиям (4), равно , то максимальная общая часть А0
операторов А1 и А2 имеет индексы дефекта . В этом
случае операторы А1 и А2 могут рассматриваться как взаимно
простые самосопряженные расширения оператора А0.
Задачей настоящего пункта является
вывод формулы, связывающей резольвенты двух самосопряженных расширений
оператора А. Пусть - фиксированное
самосопряженное расширение, а и - их резольвенты. Пусть, далее - любая
общая точка регулярности операторов и В (в частности, может быть
произвольным невещественным числом).
Чтобы не выделять случая, когда и В не
являются взаимно простыми расширениями оператора А, будем рассматривать их как
взаимно простые расширения их максимальной общей части А0, имеющей
индексы (r, r), где
Положим и . Для
разности резольвент будем иметь
(5)
Последнее вытекает из того, что при
любом
.
Выберем как-нибудь линейно
независимых векторов из и линейно
независимых векторов из . Из (3) для
любого следует
. (6)
Согласно (4) константы являются
линейными функционалами от , и можно положить .
Так как, в силу (5) и линейной
независимости векторов , при любом ,
ортогональном к , должно
быть
,
то ,
т.е. , (7)
и (4) принимает вид
=. (8)
Заметим, что матричная функция ,
определенная на множестве общих точек регулярности операторов и , является
неособенной.
Предположение влечет в
силу (7) линейную зависимость векторов , что означает существование вектора
,
удовлетворяющего условиям , .
Для вектора получаем из
(6) =0, а это
противоречит взаимной простоте операторов и , как расширений оператора .
Опуская в (8) элемент и
рассматривая как
операторы, получаем для любого значения из множества общих точек
регулярности операторов и В формулу
(9)
Левая и правая части формулы (8)
являются регулярными аналитическими вектор-функциями от . Покажем,
что могут быть
определены как регулярные аналитические вектор-функции от , и получим
соответствующую этому выбору формулу для матричной функции .
С этой целью возьмем какое-нибудь
фиксированное значение и введем
оператор с областью
определения и областью
значений .
Оператор определяется
формулами
, ,
из которых следует, что
осуществляемое им отображение Н на Н взаимно однозначно.
В частном случае, при оператор приводит к
преобразованию Кэли оператора и отображает дефектное
подпространство . Покажем,
что вообще .
Выберем произвольный базис и докажем,
что .
Имеем
т.е. . При этом в силу взаимной
однозначности отображения, осуществляемого оператором , векторы образуют
базис в , и мы можем
принять, что векторы в любой
точке регулярности оператора определены формулами
,
и, следовательно, являются
регулярными аналитическими вектор-функциями от .
С помощью функционального уравнения
резольвенты легко проверить, что в таком случае для любых двух регулярных точек
и оператора имеют место
равенства
. (10)
Теперь значение матричной функции при любом (регулярном
для и )
определяется по ее значению ; для нахождения соответствующей
формулы воспользуемся функциональным уравнением резольвенты
. (11)
С другой стороны, в силу (7)
(12)
Подставляя правые части (12) в (11),
получаем (13):
Если с помощью (10) приведем сумму
второго и третьего слагаемого в правой части к виду
,
и после этого приведем в (13)
подобные члены, то получим
Отсюда, в силу линейной
независимости векторов ,
и, далее, в силу линейной
независимости
или, в матричном виде,
.
Умножая последнее равенство справа
на и слева на , получаем
искомое соотношение
(14)
Нетрудно проверить, что из (14) для
любых двух общих регулярных точек и операторов , следует
.
пространство симметрический оператор
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Н.И.
Ахиезер, И.М. Глазман. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.
- М., 1966. - 544 с.
2. Треногин
В.А. Функциональный анализ: Учебник. - 4-е изд., испр. - М. ФИЗМАТЛИТ, 2007. -
488с.