Задачи массового обслуживания
Рассмотрим некоторую систему, выполняющую определенную работу или предоставляющую услуги. Эта система, в которую поступают объекты, нуждающиеся в услугах или производстве работ, называется «обслуживающей системой», а сами объекты носят название «требований» или «заявок». Они могут представлять собой письма, нуждающиеся в подписи, автомашины, которым нужна стоянка, суда, подлежащие разгрузке, детали, требующие сборки, людей, ожидающих обслуживания, короче говоря, любой материальный объект, над которым или для которого нужно выполнить некоторую работу. Если требования поступают в систему «слишком часто», то им приходится ожидать обслуживания или обходиться без него. Если же, напротив, требования поступают слишком редко, то ожидать (т. е. простаивать) приходится средствам или каналам обслуживания. Ожидающие обслуживания требования или простаивающие каналы образуют очередь.
Совокупность правил, пользуясь которыми из очереди выбирают требования для обслуживания, называется дисциплиной обслуживания. Эти правила могут быть самыми различными: например, живая очередь (т. е. «первым пришел - первым обслуживается»), обслуживание в порядке возраста, по степени срочности, по какой-либо шкале приоритетов и т. д. Требования для обслуживания могут выбираться даже случайным образом, как, скажем, действуют продавцы у забитых толпой прилавков.
Устройство или средство, способное в любой момент времени обслуживать лишь одно требование, называется каналом или пунктом обслуживания. Если обслуживание производится поэтапно некоторой последовательностью каналов, то такую систему массового обслуживания называют многофазной. При наличии нескольких каналов, способных, одновременно обслуживать ряд требований, говорят о многоканальной системе. Все каналы или часть их могут выполнять один и тот же вид обслуживания либо различные виды обслуживания. Так, например, на платных автострадах обычно устанавливается ряд пунктов сбора платы за проезд только для легковых автомобилей и один или несколько пунктов для грузовых. В столовых и кафе часто имеется более одного канала, причем в одних случаях идентичных, а в других различных, каждый из которых состоит из нескольких станций обслуживания. Несколько станций могут быть источником требований для одной последующей. Так, владельцы театральных билетов, закупаемых в ряде касс, могут направляться к одному билетеру у входа в театр. С другой стороны, одна станция может служить источником требований, направляемых в несколько последующих каналов. В качестве примера можно привести справочное бюро универмага.
При наличии требований, поступающих на станцию обслуживания таким образом, что либо сами требования, либо средства обслуживания вынуждены ожидать, возникает процесс массового обслуживания. В условиях протекания такого процесса задача обслуживания возникает при следующих условиях:
а) имеется возможность регулирования плотности потока требований или параметра потока (т. е. количество требований, поступающих в систему в единицу времени), или количества средств обслуживания, и
б) существуют затраты, обусловленные ожиданием удовлетворения требований или простоем средств обслуживания.
Задача массового обслуживания заключается либо в формировании потока требований в систему, либо в обеспечении средствами обслуживания, либо в одновременном решении этих вопросов. Целью решения этой общей задачи является минимизация суммарных затрат, связанных с ожиданием обслуживания требований и потерями от простоя средств обслуживания.
Поскольку большинство людей проводит много времени в очередях, ожидая обслуживания или, напротив, ожидая, когда им представится возможность предоставить свои услуги, процессы и задачи массового обслуживания возникают повсюду. Приведем несколько примеров содержательной постановки задач этого класса.
Сколько требуется контрольных касс в крупном магазине самообслуживания?
Сколько взлетно-посадочных полос нужно иметь на аэродроме?
Сколько причалов для судов рационально предусмотреть в порту?
Сколько мест для автомашин оборудовать в гараже? Сколько продавщиц нужно иметь в универмаге? Сколько ремонтных бригад содержать на промышленном предприятии?
Сколько врачей предусмотреть в штате поликлиники? Сколько коек требуется для больницы? Как составить расписание прибытия самолетов в город? Как составить железнодорожное расписание или расписание работы автомобильного парка?
Большую группу задач ремонта и профилактического обслуживания можно рассматривать как задачи массового обслуживания. Оборудование или изделия, нуждающиеся в ремонте и обслуживании, представляют собой требования. Средства ремонта можно доставлять к месту обслуживания требований, как это, например, происходит, когда вызывают на дом мастеров для ремонта бытовых приборов, отопления и сантехники. Затраты на ожидание удовлетворения требований могут включать потери, обусловленные невозможностью -использовать неисправное оборудование.
Некоторые задачи управления запасами можно также поставить как задачи массового обслуживания. Поступивший заказ, который выполняется путем поставки продукции из запаса, рассматривается как требование. Складское хозяйство можно считать средством обслуживания, обеспечивающим выдачу продукции клиентам. Операция обслуживания есть процесс заполнения освободившихся складских помещений с помощью заказов на пополнение запаса. Очередь - это число еще не выполненных заказов. Если спрос носит дискретный характер и в каждой партии поступает небольшое число изделий, то такой процесс пополнения запаса можно эффективно исследовать с помощью аппарата теории массового обслуживания. Для решения задач управления запасами этого вида модель процесса массового обслуживания «погружается» в модель запасов. Этот подход к решению задач управления запасами развит Морзом и Прабху.
Некоторые очереди считаются замкнутыми, так как обслуженные требования (т. е. требования, покинувшие систему) могут возвращаться в нее, образуя набор потенциальных требований, впоследствии вновь поступающих на обслуживание. Так, например, автомашины, приписанные к определенному парку, могут образовывать замкнутую очередь по отношению к ремонтным мастерским фирмы. Если число потенциальных требований очень велико, то поведение замкнутой очереди практически не отличается от поведения разомкнутой или линейной очереди, в которой обслуженные требования уже не возвращаются в систему. Количество накапливающихся требований может быть конечным или практически бесконечным. Очень большие наборы требований обычно рассматриваются как бесконечные, что позволяет существенно упростить математический аппарат, применяемый для решения задач.
Затраты, связанные с ожиданием удовлетворения требований, как правило, включают косвенные расходы, обусловленные потерей клиентов (или люди обращаются за услугами в другое место, покупают меньше, чем намеревались, или не обращаются к данной системе в будущем), или прямые издержки простоя средств обслуживания и людей. Примером прямых затрат может служить оплата водителей грузовых автомашин, ожидающих разгрузки, или стоимость эксплуатации самолета или судна, ожидающего посадки на аэродром или швартовки у причала. Определить косвенные расходы гораздо сложнее. Например, водители автомашин, нуждающиеся в бензине, стараются не заправляться на станциях, где у бензоколонок скапливается большая очередь. Чтобы определить, сколько клиентов теряется в подобных ситуациях, и выразить эти потери в денежной форме, потребуется проведение экспериментов или тщательный анализ изменения спроса при различных уровнях обслуживания с использованием статистических данных.
В некоторых случаях потери от ожидания можно определить, проанализировав надлежащим образом «имеющиеся в наличии» наблюдения. В ресторанах иногда можно наблюдать, как меняется число заходящих в единицу времени посетителей в зависимости от длины очереди. Можно даже установить зависимость числа уходящих потенциальных посетителей от длины этой очереди. Однако гораздо труднее выяснить, как она влияет на их возвращение в ресторан, если рассматривать достаточно большой интервал времени. В замкнутых очередях, например в системах ремонта, обслуживающих парк автомашин, потери от ожидания клиентов (т. е. машин, ожидающих ремонта) обычно выражаются стоимостью дополнительных машин, необходимых для «покрытия» недостатка, образовавшегося из-за вышедших из строя машин, т. е. определяются стоимостью «резерва».
Потери от простоя средств обслуживания могут оказывать влияние и на другие виды расходов. Так, например, если авиалинию обслуживает всего один ремонтный заводу то требуется гораздо больше времени на транспортировку самолетов в пункт, где он расположен, чем в случае, когда имеется несколько ремонтных предприятий, размещенных в различных пунктах по линии.
Модель задачи массового обслуживания в общем виде выражает полные затраты как сумму двух видов потерь: от ожидания удовлетворения требований и от простоя средств обслуживания. Эти потери являются в свою очередь функциями двух различных видов времени ожидания, которое в конечном счете зависит от таких управляемых переменных, как число обслуживающих каналов или параметров входящего потока требований, а также параметров процесса обслуживания. Трудности исследования большинства задач массового обслуживания заключаются в определении законов распределения времени ожидания, а не в решении «стоимостной» модели при условии, когда важнейшие характеристики очередей уже известны. В связи с этим в теории массового обслуживания исследуются главным образом свойства очередей, а не стоимостные модели процессов обслуживания.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций - М.: Мир, 1971. - 536 с.