Банаховы пространства. Метрические и нормированные пространства
Одесский национальный политехнический
университет
Банаховы пространства
Метрические и нормированные
пространства
По дисциплине "Функциональный и
выпуклый анализ"
Выполнила:
Студентка группы РИ-101 Козлюк Е.О.
Проверил: Бардай В.В.
Одесса 2011
Метрические и
нормированные пространства
Именно в этих пространствах были первоначально исследованы
фундаментальные понятия сильной и слабой сходимости, компактности, линейного
функционала, линейного оператора и др. Банаховы пространства названы по имени
С. Банаха, к-рый в 1922 начал систематич. изучение этих пространств на основе
введенной им аксиоматики и получил глубокие результаты.
Множество M называется метрическим
пространством, если каждым двум элементам x, y этого множества
поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое и называемое расстоянием
между элементами x и y, причем выполнены
следующие аксиомы:
1. для любых , причем в том и только в том
случае, когда ;
2. для любых ;
3. для любых .
Если x, y - два фиксированных элемента множества M, то есть действительное
число, однако, полагая x и y равными всевозможным элементам множества M, получим, что является функцией двух
переменных x,
y. Эта функция называется метрикой
данного пространства.
Множество можно наделить метрикой: например, достаточно
положить . Примером метрического
пространства может также служить множество точек плоскости, где расстояние
между точками и определяется как . При этом третья
аксиома, принимающая вид (где A, B, C - произвольные точки плоскости) имеет наглядную интерпретацию:
длина любой из сторон треугольника не превосходит суммы двух других сторон
(равенство достигается, если треугольник "вырожден": точка C лежит на отрезке AB). В связи с этим третью
аксиому метрического пространства часто называют неравенством треугольника.
Приведем теперь менее тривиальный пример. В пространстве
непрерывных на отрезке функций (действительных или комплексных) введем
метрику
Выполнение первых двух аксиом метрического пространства при
этом очевидно, а выполнение третьей аксиомы следует из тривиальных свойств
модуля и того факта, что максимум суммы не превосходит суммы максимумов:
Разумеется, на одном и том же множестве метрику можно ввести
по-разному. Рассмотренная только что метрика в пространстве непрерывных функций
называется равномерной метрикой (пространство с этой метрикой обозначают
). Однако на том же самом
множестве непрерывных функций можно ввести и так называемую среднеквадратичную
метрику
(пространство с этой метрикой обозначают ), и некоторые другие
метрики. Выполнение неравенства треугольника для среднеквадратичной метрики
будет доказано несколько позже.
В линейных пространствах наряду с метрикой используют понятие
нормы элемента.
Определение. Линейное пространство
называется нормированным, если каждому элементу x этого пространства
поставлено в соответствие действительное число (норма x), причем выполнены
следующие аксиомы:
1. для любого x, причем тогда и только тогда,
когда ;
2. для любого x и любого комплексного;
3. для любых x, y из данного пространства.
Для линейных пространств над полем действительных чисел также
вводится понятие нормированного пространства с теми же аксиомами.
Неравенство, фигурирующее в третьей аксиоме, называется
неравенством Минковского. Простейшими примерами нормированных пространств могут
служить множества действительных чисел R и комплексных чисел C, где в качестве нормы
числа рассматривается его модуль, а также пространство векторов на плоскости
(или в пространстве) с нормой, равной длине вектора. В пространстве непрерывных
функций на (действительном или комплексном) норму можно
ввести, например, следующими способами:
, .
Отметим теперь следующий важный факт. В любом линейном
нормированном пространстве можно ввести метрику следующим образом:
При этом выполнение первой аксиомы метрического пространства
следует из первой аксиомы нормированного пространства. Выполнение второй
аксиомы также очевидно:
.
Наконец, выполнение третьей аксиомы метрического пространства
следует из неравенства Минковского:
Итак, любое линейное нормированное пространство можно сделать
метрическим пространством указанным выше естественным способом (так, указанные
нами нормы в пространстве непрерывных функций порождают соответственно
равномерную и среднеквадратичную метрику, т.е. порождают пространства и соответственно). Обратное
утверждение, вообще говоря, неверно: не в любом метрическом пространстве можно
ввести норму, поскольку понятие нормы вводится лишь в линейном пространстве, а
метрическое пространство может не быть наделено линейной структурой. Однако,
если метрическое пространство наделено линейной структурой (является линейным
пространством), то его всегда можно сделать нормированным, введя норму
Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать исключительно
линейные нормированные пространства, причем всюду (в случае необходимости)
будем подразумевать, что пространство снабжено естественной (индуцированной)
метрикой .
Пусть теперь - некоторая последовательность элементов
линейного нормированного пространства L, а - некоторый
фиксированный элемент L. Для каждого номера n найдем . Тем самым получим
числовую последовательность .
Определение. Элемент линейного нормированного
пространства L
называется пределом последовательности элементов , если
(или ).
Обозначение: (если необходимо, то указывают, по какой норме
рассматривается предел).
Если последовательность имеет предел, то она
называется сходящейся (по норме данного пространства), в противном случае
- расходящейся.
Пример. Рассмотрим последовательность функций в пространстве . Функция является ее пределом,
т.к.
при .
Однако в пространстве эта же самая
последовательность расходится. Действительно, допустим, что в равномерной метрике.
Тогда
При каждом фиксированном
,
очевидно,
,
и, следовательно,
, т.е.
Но .
Итак, .
Однако такая функция не является непрерывной
на , т.е. вообще не
принадлежит рассматриваемому пространству. Таким образом, в данная последовательность
предела не имеет.
Как видим, одна и та же последовательность может иметь предел
в одной метрике и не иметь в другой.
Если последовательность имеет предел, то этот предел
единственен. В самом деле, пусть и . Тогда
.
При правая часть стремится к нулю, следовательно,
левая часть также стремится к нулю. Но - константа, поэтому =0, а значит, .
Определение предела последовательности элементов
нормированного пространства основано на понятии предела числовой последовательности.
Используя определение предела числовой последовательности,
"расшифруем" более подробно понятие предела в нормированном
пространстве.
Элемент линейного нормированного пространства L является пределом
последовательности элементов , если для любого (сколь угодно малого) найдется номер N, такой, что для всех
номеров n,
больших N,
выполнено неравенство . Или, в символьной записи,
Рассмотрим теперь понятие фундаментальной последовательности,
тесно связанные с понятием предела.
Определение. Последовательность
элементов линейного нормированного пространства называется фундаментальной,
если
Очевидно, что любая сходящаяся последовательность
фундаментальна: если
, то
тогда
для всех номеров что и доказывает
фундаментальность последовательности .
Определение. Линейное нормированное
пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная
последовательность сходится.
Банахово
пространство
Полное линейное нормированное пространство
называют также банаховым пространством (по имени выдающегося польско-украинского
математика Стефана Банаха (1892-1945)).
Пространства R и C - банаховы, а пространство Q - нет.
Рассмотренное выше пространство - банахово. В самом
деле, пусть - фундаментальная последовательность в .
Тогда ( Тогда для любого фиксированного , причем номер N не зависит от x. По критерию Коши
равномерной сходимости это означает равномерную сходимость последовательности .
Переходя в неравенстве к пределу при , получим: , откуда следует, что , что означает сходимость
последовательности к по норме . Таким образом,
пространство - полное, а значит - банахово.
Любопытно, что пространство полным не является. В
качестве примера рассмотрим в последовательность . Предположим, что
некоторая непрерывная функция f (x) является пределом этой последовательности в метрике .
Очевидно, , а следовательно, если сходится к f (x) в метрике , то сходится и в метрике
. Однако, на отрезке [0,
1] рассматриваемая последовательность совпадает с рассмотренной выше
последовательностью и имеет своим пределом в функцию, тождественно
равную нулю. Аналогично, f (x) является пределом в , а поскольку на [1, 2], то и предел
этой последовательности в тождественно равен 1.
В силу единственности предела, получаем, что на [0, 1] и на [1, 2] и при этом f (x) непрерывна на [0, 2].
Очевидно, таких функций не существует.
метрическое линейное банахово пространство
Следовательно, последовательность в расходится. Вместе с тем
при n, m > N.
Выбирая для произвольного фиксированного номер , убеждаемся в
фундаментальности данной последовательности в .
Построенный пример легко обобщается с отрезка [0, 2] на
произвольный отрезок [a, b]. Итак, пространство неполно.
Примеры. Встречающиеся в математич. анализе Б. п. - это чаще
всего множества функций или числовых последовательностей, подчиненные нек-рым
условиям:
) , , - пространство числовых последовательностей , для к-рых
с нормой
) т - пространство ограниченных числовых
последовательностей с нормой
) с - пространство сходящихся числовых
последовательностей с нормой
) с 0 - пространство сходящихся к нулю числовых
последовательностей с нормой
) - пространство непрерывных на функций с нормой
) - пространство непрерывных функций на компакте с нормой
) - пространство функций, имеющих непрерывные
производные до порядка пвключительно, с нормой
) - пространство всех непрерывно дифференцируемых
до порядка пфункций, определенных в т - мерном кубе, с равномерной
нормой по всем производным порядка не выше п.
9) - пространство ограниченных измеримых функций с
нормой
) - пространство функций, аналитических в открытом
единичном круге Dи непрерывных в замкнутом круге , с нормой