Расчет индуктивности и напряжения

Расчет индуктивности и напряжения

Расчёт iL(t) и Uc(t) классическим методом

Исходные данные

Изобразим исходную схему электрической цепи (рис 1.1)

. Рассчитаем ток в индуктивности и напряжение на конденсаторе до коммутации по схеме электрической цепи, представленной на рис. 1.1 при замкнутом ключе К1.

Так как в цепи включен источник синусоидального напряжения, расчет проводим символическим методом.

Определим реактивное сопротивление индуктивности и емкости.

Определим эквивалентное комплексное сопротивление цепи по отношению к источнику Э.Д.С до коммутации (ключ К1 замкнут).

Комплексная амплитуда тока в ветви с источником до коммутации

Комплексная амплитуда тока в ветви с индуктивностью до коммутации

Мгновенное значение тока в ветви с индуктивностью до коммутации

Пологая в последнем выражении t = 0 - получим величину тока в индуктивности непосредственно перед коммутацией

Т.к. до коммутации конденсатор закорочен (ключ К1 замкнут),то значение напряжения на конденсаторе до коммутации равно нулю.

Uc(0 -) = 0

На основании законов коммутации запишем независимые начальные условия:

2. Рассчитываем установившийся режим после коммутации для определения принужденных составляющих переходного процесса

Комплексное сопротивление цепи по отношению к источнику в установившемся режиме после коммутации

Комплексная амплитуда тока в ветви с источником в установившемся режиме после коммутации

Комплексная амплитуда тока в ветви с индуктивностью в установившемся режиме после коммутации

Комплексная амплитуда тока в ветви с емкостью в установившемся режиме после коммутации

Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости в установившемся режиме после коммутации

Мгновенное значение напряжения на ёмкости в установившемся режиме после коммутации (искомая принужденная составляющая напряжения на ёмкости)

Мгновенное значение тока через индуктивность в установившемся режиме после коммутации (искомая принужденная составляющая тока через индуктивность)

3. Составим и решим характеристическое уравнение цепи

Сопротивление цепи по отношению к источнику в установившемся режиме после коммутации

Характеристическое уравнение цепи получаем из условия Z(p) = 0 или :

Решая характеристическое уравнение получаем корни:

4. Т.к. корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, свободные составляющие переходных процессов по току в индуктивности и напряжению на ёмкости будем искать в виде

где А, , B,  - неизвестные постоянные интегрирования

Полный переходной ток в индуктивности равен сумме принужденной и свободной составляющих

Полное переходное напряжение на емкости аналогично определяется :

5. Определим неизвестные постоянные интегрирования

.1. Для определения двух неизвестных постоянных интегрирования А и  необходимы два уравнения, первое из которых есть уравнение iL(t), а второе получаем, дифференцируя первое:

Для момента времени t = 0 получаем:

Производная тока в индуктивности в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t = 0 + послекоммутационной цепи:

Из системы уравнений определяем

Тогда уравнения для постоянных интегрирования окончательно имеют вид:

Постоянные интегрирования определяются из данной системы и равны:

.2. Постоянные интегрирования В и  определяем аналогично

Одно уравнение для переходного напряжения на емкости мы уже имеем:

Для момента времени t = 0 получаем:

Производная напряжения на емкости в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения производной напряжения на емкости воспользуемся системой уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t = 0 + составленной выше.

Тогда система уравнений для постоянных интегрирования В и  окончательно имеет вид :

Из системы уравнений находим постоянные интегрирования, которые равны :

. Таким образом, законы изменения тока через индуктивность и напряжения на емкости имеют вид :

. Построение графиков.

Т.к. переходные процессы затухают, как правило, за время (3...5)t , где t - постоянная времени цепи, то графики зависимостей iL(t) и uC(t) строим в диапазоне значений времени t от 0 до 5t.

Постоянная времени определяется :

Графики переходных процессов по току в индуктивности iL(t) и напряжению на емкости uс(t) представлены на рис.1.2 и 1.3 соответственно.

Операторный метод

Схема электрической цепи до коммутации показана на рис.2.1.

До коммутации для постоянного тока индуктивность обладает нулевым сопротивлением, а емкость бесконечно большим, поэтому эти элементы соответственно будут изображаться на схеме цепи до коммутации как короткое замыкание и обрыв. Представим схему цепи до коммутации (рис.2.2).

Ток в цепи индуктивности до коммутации равен

Напряжение на емкости до коммутации

Согласно законам коммутации ток в индуктивности и напряжение на емкости в момент коммутации не могут изменяться скачком. Следовательно :

Составляем операторную схему замещения цепи для послекоммутационного состояния (рис.2.3)

Для схемы рис.2.3 составим и решим систему уравнений по методу контурных токов в операторной форме

Решая полученную систему с помощью определителей, получим :

Подставив числовые значения получим выражения для контурных токов:

Операторный ток через индуктивность iL(p) равен :

Для перехода от операторного изображения тока к оригиналу воспользуемся теоремой разложения. Представим iL(p) = M(p) / где :

Решим характеристическое уравнение N(p) = 0, т.е:

решив уравнение получаем два корня

При этом ток в индуктивности iL(t) в соответствии с теоремой разложения и учетом того , что корни комплексно сопряженные запишется в виде:

Окончательно выражение для тока в индуктивности iL(t) имеет вид :

Выражение для операторного напряжения на емкости имеет вид

ток индуктивность электрический напряжение

Переходное напряжение на емкости вычислим используя свойство линейности преобразования Лапласа

Изображению U1(p) в области оригиналов будет соответствовать константа:

Оригинал u2(t) определим используя теорему разложения. Представим выражение U2(p) = M(p) / N(p) и решим при этом характеристическое уравнение N(p) = 0 , которое имеет три корня:

Тогда выражение для u2(t) с учетом того, что корни p2 и p3 комплексно сопряженные имеет вид :

Отсюда получаем выражение для u2(t)

Тогда с учетом того, что u(t) = u1(t) + u2(t) получаем выражение для переходного напряжения на емкости u(t) :

Т.к. переходные процессы затухают, как правило, за время (3...5)t , где t - постоянная времени цепи, то графики зависимостей iL(t) и uс(t) строим в диапазоне значений времени t от 0 до 5t.

Постоянная времени определяется:

Графики переходных процессов по току в индуктивности iL(t) и напряжению на емкости uс(t) представлены на рис.2.4 и 2.5 соответственно.