Функция плотности распределения
Задание
номер интервала
|
границы интервалов t
|
частота m
|
|
свыше
|
до(включительно)
|
|
1
|
57,997
|
57,999
|
2
|
2
|
57,999
|
58,001
|
2
|
3
|
58,001
|
58,003
|
8
|
4
|
58,003
|
58,005
|
25
|
5
|
58,005
|
58,007
|
33
|
6
|
58,007
|
58,009
|
50
|
7
|
58,009
|
58,011
|
65
|
8
|
58,011
|
58,013
|
71
|
9
|
58,013
|
58,015
|
32
|
10
|
58,015
|
58,017
|
37
|
11
|
58,017
|
58,019
|
26
|
12
|
58,019
|
58,021
|
6
|
13
|
58,021
|
58,023
|
3
|
1. Определение теоретической
функции плотности распределения. Графическое изображение эмпирического и
теоретического распределений
функция плотность
распределение математический ожидание
При построении гистограмм и полигонов по оси
абсцисс откладывают значения результатов измерений (середины интервалов xi),
по оси ординат - частности появления результатов измерения в каждом i-м
интервале.
Из-за ограниченности числа результатов измерений
при обработке вместо математического ожидания и дисперсии получают их
приближенные оценки- соответственно эмпирическое среднее и
эмпирическую дисперсию S2,
характеризующие средний результат измерений и степень разброса измерений. и
S2
определяются из выражений:
Значения вероятности попадания результата
измерения в конкретный интервал можно определить, используя значения функции:
,
где .
Тогда вероятность попадания
результата в i-й интервал
величиной h
.
Внесем все вычисления в таблицу и на основании
полученных результатов построим кривую теоретического распределения, а так же
гистограмму и полигон эмпирического распределения:
|
Середина интервала xi
|
mixi
|
xi-
|
zi
|
mixi2
|
φi(z)
|
Pi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57,998
|
0,006
|
115,996
|
-0,01285
|
2,874965
|
6727,536
|
0,006399
|
0,002863
|
|
58
|
0,006
|
116
|
-0,01085
|
2,4275
|
6728
|
0,020956
|
0,009377
|
|
58,002
|
0,022
|
464,016
|
-0,00885
|
1,980034
|
26913,86
|
0,056179
|
0,025138
|
|
58,004
|
0,069
|
1450,1
|
-0,00685
|
1,532569
|
84111,6
|
0,123277
|
0,055162
|
|
58,006
|
0,092
|
1914,198
|
-0,00485
|
1,085103
|
111035
|
0,221427
|
0,099081
|
|
58,008
|
0,139
|
2900,4
|
-0,00285
|
0,637638
|
168246,4
|
0,325553
|
0,145674
|
|
58,01
|
0,181
|
3770,65
|
-0,00085
|
0,190173
|
218735,4
|
0,391793
|
0,175314
|
|
58,012
|
0,197
|
4118,852
|
0,00115
|
0,257293
|
238942,8
|
0,385954
|
0,172701
|
0,089
|
1856,448
|
0,00315
|
0,704758
|
107700
|
0,311212
|
0,139257
|
|
58,016
|
0,103
|
2146,592
|
0,00515
|
1,152223
|
124536,7
|
0,20541
|
0,091914
|
|
58,018
|
0,072
|
1508,468
|
0,00715
|
1,599689
|
87518,3
|
0,110976
|
0,049658
|
|
58,02
|
0,017
|
348,12
|
0,00915
|
2,047154
|
20197,92
|
0,049077
|
0,02196
|
|
58,022
|
0,008
|
174,066
|
0,01115
|
2,494619
|
10099,66
|
0,017765
|
0,007949
|
Сумма
|
|
|
20883,91
|
|
|
1211493
|
|
|
=
|
58,01085
|
S2=
|
1,99775E-05
|
S=
|
0,00446962
|
2. Критерий согласия
эмпирического и теоретического распределений
Считают, что эмпирическое распределение хорошо
согласуется с теоретическим, если (1 - g) больше 0,1.
Согласно критерию Колмогорова, сравнивают эмпирические и теоретические
значения, но уже не плотности распределения, а интегральной функции. Значение
максимальной (по абсолютной величине) разности между ними DN
подставляют в выражение:
,
где N
- объем выборки.
Вычисление эмпирических F’i
и теоретических Fi
значений интегральной функции производим путем последовательного суммирования
соответственно значений P’i
и Pi. Результаты
вычислений сведены в таблицу:
Номер интервала
|
Pi
|
P’i
|
Fi
|
F’i
|
Fi-Fi'
|
1
|
0,002863
|
0,005556
|
0,002863
|
0,005556
|
0,002692
|
2
|
0,009377
|
0,005556
|
0,01224
|
-0,00113
|
3
|
0,025138
|
0,022222
|
0,037379
|
0,033333
|
-0,00405
|
4
|
0,055162
|
0,069444
|
0,092541
|
0,102778
|
0,010237
|
5
|
0,099081
|
0,091667
|
0,191622
|
0,194444
|
0,002823
|
6
|
0,145674
|
0,138889
|
0,337295
|
0,333333
|
-0,00396
|
7
|
0,175314
|
0,180556
|
0,512609
|
0,513889
|
0,00128
|
8
|
0,172701
|
0,197222
|
0,68531
|
0,711111
|
0,025801
|
9
|
0,139257
|
0,088889
|
0,824566
|
0,8
|
-0,02457
|
10
|
0,091914
|
0,102778
|
0,91648
|
0,902778
|
-0,0137
|
11
|
0,049658
|
0,072222
|
0,966138
|
0,975
|
0,008862
|
12
|
0,02196
|
0,016667
|
0,988098
|
0,991667
|
0,003568
|
13
|
0,007949
|
0,008333
|
0,996048
|
1
|
0,003952
|
DN=
F'8 - F
8= 0,025801,
N=åmi=360,
Тогда получаем:
Для lN=0,52
g
»
0,05 Þ
(1 - 0,05)=0,95 >0,1.
Отсюда можно сделать вывод: согласие
эмпирического распределения с нормальным теоретическим можно считать хорошим.
. Определение доверительных
интервалов
В ряде задач, особенно при малом числе
измерений, требуется не только найти эмпирическую оценку для того или иного
параметра, но и определить доверительный интервал, в котором с доверительной
вероятностью будет находиться теоретическое значение параметра.
Доверительный интервал для математического
ожидания определяем из выражения:
Значения tγ
табулированы и равняется tγ
= 2,18 для N=13 и γ*=0,95.
58,00814756 <M< 58,01355244
Доверительный интервал для среднего
квадратического отклонения определяем из выражения:
Значения χ12,
χ22
табулированы и определяется в зависимости от числа измерений N
и односторонних вероятностей γ1,
γ2:
Значение χ12
определяем при вероятности (1- γ1),
χ22
- при γ2.
χ12=24,1 χ22=4,18
И тогда
0,003024897
|
<σ<
|
0,008194587
|
4. Определение диапазона рассеивания
значений
Определение границ диапазона рассеивания
значений по результатам измерений, при вероятности риска 0,0027 .
М » =58,01085
» S =0,00446962
М-3» 57.997442
М+3» 58.024258
Определение границ диапазона
рассеивания значений по результатам измерений, при допускаемом значении
вероятности риска 2β=0,001
М±σ
=0,4995 при этом =3,29 (по
справочнику)
М-3,29=57,996146
М+3,29=58,025554
Список использованной
литературы
1. Зябрева Н.Н. и
др. Пособие к решению задач по курсу "Взаимозаменяемость, стандартизация и
технические измерения". Учеб. Пособие для вузов. М., "Высш.
школа", 1977.