Операции над функциями
Задача
1
Выполнить действия над множествами
A=(0, 8), B=(-1,1). Найти AÈB, BÇA, , ,
Решение.
Задача
2
Решить задачи, используя теорию множеств
В группе из 100 туристов 70 знают английский язык, 45 -
французский, 23 - оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского,
ни французского языка?
Решение.
Обозначим:
Аа - количество туристов, знающих только
английский язык;
Аф - количество туристов, знающих только
французский язык;
Ааф - количество туристов, знающих и английский, и
французский язык;
А0 - количество туристов, не знающих ни
английского, ни французского языка;
Тогда:
Аа + Аф + Ааф + А0
= 100
Аа + Ааф = 70
Аф + Ааф = 45
Ааф = 23
Изобразим множества на диаграмме Венна:
Имеем:
Ааф = 23
Аа = 70 - Ааф = 70 - 23 = 47
Аф = 45 - Ааф = 45 - 23 = 22
А0 = 100 - Аа - Аф - Ааф
= 100 - 47 - 22 - 23 = 8
Не знают ни одного языка 8 человек.
Задача
3
. Найти область определения функции
Решение.
Данная функция определена при выполнении следующих условий:
) первое подкоренное выражение больше, либо равно нулю;
) знаменатель дроби не равен нулю;
) дробь положительна;
) второе подкоренное выражение больше, либо равно нулю;
Рассмотрим первое подкоренное выражение:
Разобьём числовую ось точками х1=-2 и х3=2
и проверим значение выражения в каждом из интервалов:
- выражение на этом интервале отрицательно;
- выражение на этом интервале положительно;
- выражение на этом интервале отрицательно.
Тогда область определения будет следующей:
Рассмотрим знаменатель дроби:
Тогда область определения функции:
Рассмотрим дробь (она должна быть положительна):
Тогда область определения функции:
Второе подкоренное выражение больше, либо равно нулю:
Разобьём числовую ось точками и и проверим значение выражения в каждом из
интервалов:
- выражение на этом интервале положительно;
- выражение на этом интервале отрицательно;
- выражение на этом интервале положительно.
Тогда область определения функции окончательно будет следующей:
Задача
4
Найти участки возрастания и убывания функций,
классифицировать точки экстремума
Решение.
Исследуем область определения функции:
Найдём точки экстремума. Для этого найдём производную функции
и приравняем её к нулю:
Отсюда видно, что точек экстремума нет.
Производная в любой точке области определения (кроме точки х=2)
будет положительна, т.е. функция постоянно возрастает. Максимальное значение
функции будет в самой правой точке области определения:
Решение.
Вообще, набор зубов один и тот же. Но если бы можно было зубы
переставлять, то тогда количество возможных вариантов было бы равно:
Задача
6
функция
множество вероятность область
В ящике лежат 13 зеленых, 10 красных и 7 синих одинаковых на
ощупь шаров. Наудачу вынимают 8 шаров. Чему равна вероятность того, что вынули:
а) 3 зеленых, 2 красных и 3 синих шара.
б) 1 зеленый, 5 красных и 2 синих шара?
Решение.
а) 3 зеленых, 2 красных и 3 синих шара:
Общее число элементарных исходов будет равно:
Число благоприятных исходов:
Тогда искомая вероятность:
б) 1 зеленый, 5 красных и 2 синих шара:
Общее число элементарных исходов будет равно:
Число благоприятных исходов:
Тогда искомая вероятность:
Задача
7
Контролер ОТК проверил срок службы 40 электрических ламп и
получил следующие данные (в часах):
476,4
|
599,1
|
456
|
584,9
|
460,9
|
488,1
|
642,7
|
564,7
|
477,2
|
499,6
|
485
|
541,5
|
515,2
|
421,5
|
733,1
|
574,6
|
443
|
406,7
|
468,1
|
473,4
|
461,9
|
545,3
|
558,3
|
427,9
|
526,1
|
403,3
|
556
|
515,8
|
410,9
|
503,6
|
594,2
|
554,2
|
558,5
|
498,8
|
449,6
|
453,4
|
500,1
|
486,4
|
509,2
|
574,1
|
Найти средний срок службы лампы, дисперсию, исправленную
выборочную дисперсию, среднеквадратическое отклонение
Решение.
Средний срок службы лампы:
(476,4+477,2+443+526,1+558,5+599,1+499,6+406,7+403,3+
+515,2+461,9+410,9+500,1+488,1+421,5+545,3+503,6+486,4+642,7+733,1+
+558,3+594,2+509,2+564,7+574,6+427,9+554,2+574,1)/40=509,9825
Дисперсия:
(476,42+477,22+4432+526,12+558,52+599,12+499,62+
+406,72+403,32+498,82+4562+4852+468,12+5562+449,62+584,92+541,52+473,42+
+515,82+453,42+460,92+515,22+461,92+410,92+500,12+488,12+421,52+545,32+
+503,62+486,42+642,72+733,12+558,32+594,22+509,22+564,72+574,62+427,92+
+554,22+574,12)/40 - 509,98252 = 4584,34
Среднее квадратическое отклонение:
Исправленная дисперсия:
Среднее квадратическое (исправленное) отклонение:
s=68,57