Интенсивность относительной важности
|
Определение
|
1
|
Равная важность сравниваемых требований
|
3
|
Умеренное (слабое) превосходство одного над другим
|
5
|
Сильное (существенное) превосходство
|
7
|
Очевидное превосходство
|
9
|
Абсолютное (подавляющее) превосходство
|
2, 4, 6, 8
|
Промежуточные решения между двумя соседними оценками
|
Оценку элемента хі по
сравнению с элементом хj с точки зрения свойства А обозначим через аij. Для
обеспечения согласованности примем аij = 1/аji. Оценки аij составляют матрицу S
= ║аij║.
Найдем W = (w1,...,wn) –
собственный вектор матрицы S, решая уравнение
, (2)
где λ – собственное
значение матрицы S.
Вычисленные значения,
составляющие собственный вектор W, принимаются в качестве степени
принадлежности элемента х к множеству А: m А(xi) = wi ; . Так как всегда
выполняется равенство S∙W=n∙W, то найденные значения тем точнее,
чем ближе λmax к n. Отклонение λmax от n может служить мерой
согласованности мнений экспертов.
2. Построение функций
принадлежности с использованием статистических данных
Предположим, что наблюдая
за объектом в течение некоторого времени, человек n раз фиксирует свое внимание
на том, имеет место факт А или нет. Событие, заключающееся в n проверках
наличия факта А будем называть оценочным. Пусть в k проверках имел место факт
А. Тогда эксперт регистрирует частоту p=k/n появления факта А и оценивает ее с
помощью слов "часто", "редко" и т.п.
На универсальной шкале
[0,1] необходимо разместить значения лингвистической переменной: Весьма редко,
более – менее редко, более менее часто, весьма часто. Тогда степень
принадлежности некоторого значения вычисляется как отношение числа
экспериментов, в которых оно встречалось в определенном интервале шкалы, к
максимальному для этого значения числу экспериментов по всем интервалам. Метод
требует выполнения условия, чтобы в каждый интервал шкалы попадало одинаковое
число экспериментов. Если это условие не выполняется, требуется дополнительная
обработка экспериментальных данных с помощью так называемой матрицы подсказок.
3. Построение функций
принадлежности на основе экспертных оценок
Рассмотрим особенности
построения функций принадлежности для приближенных точечных (например, Х
приблизительно равен 10) и интервальных оценок (вида Х находится приблизительно
в интервале от 8 до 11). Естественно предположить, что функцию, необходимо
строить следующим образом:
если α ≤ х ≤
β, то μ(α, β) (х) = 1;
если х < α, то
μ(α, β) (х) = μα (х);
если х < β, то
μ(α, β) (х) = μβ (х),
где μ(α,
β) (х) – функция принадлежности нечеткому интервалу (α, β);
μα(х) и
μβ(х) – функции принадлежности нечетким множествам чисел, приближенно
равных соответственно α и β.
При построении функции
принадлежности чисел, приблизительно равных некоторому k, можно использовать
функцию
(3)
где α зависит от
требуемой степени нечеткости μk(х), и определяется из выражения
(4)
где b - расстояние между
точками перехода для μk(х), т.е. точками, в которых функция вида принимает
значение 0,5.
Таким образом, задача
построения μk(х) для некоторого числа сводиться к отысканию параметров а и
в, чтобы можно было определить β (х), с помощью β(х) – α θ,
используя α, построить μk(х).
4. Параметрический подход
к построению функций принадлежности
Описываемый метод
построения функций принадлежности основан на предположении, что эксперт
характеризуя лингвистическое значение какого-либо признака, с минимальным
напряжением может указать три точки шкалы: А, В, С, из которых В и С – точки,
по его мнению, еще (или уже) не принадлежащие описываемому лингвистическому
значению, А – точка, определенно принадлежащая ему.
Пусть имеются
параметрическое описание термов t и tI двух значений некоторой лингвистической
переменной. Один из термов может представлять собой модификацию (ограничение)
другого: tI = h (t), где h – ограничение на t типа ДОВОЛЬНО, БОЛЕЕ – МЕНЕЕ, НЕ
ОЧЕНЬ и т.п. Задача состоит в том, чтобы используя параметры термов t: (z1, z2,
z3) и tI: (ω1, ω2, ω3) описать переход от t к tI (параметры
считаются упорядоченными отношением "меньше").
Очевидно, что S –
образную функцию можно рассматривать, как вырожденный случай треугольной
функции, в которой один из параметров z1 или z2 стремится к бесконечности.
Таким образом, задача состоит в том, чтобы описать переход между любыми двумя
формами
Для решения этой задачи
используется аппарат автоморфных функций. Рассмотрим дробно-линейное
отображение прямой на себя вида
(5)
преобразование Т-1,
обратное Т, получается, если уравнение
разрешить относительно
ω:
(6)
Таким образом, при
параметрическом представлении функций принадлежности задача описания перехода
от одного терма t: (z1, z2, z3) к другому tI: (ω1, ω2, ω3)
решается непосредственным подсчетом четырех параметров – коэффициентов
дробно-линейного преобразования по формулам:
(7)
Эти же коэффициенты при
подстановке в (6) определяют обратный переход от tI к t.
Рассмотрим теперь переход
от терма t треугольной формы к терму tI с S – образной функцией принадлежности.
Для дробно-линейных преобразований этому случаю соответствует переход от одной
из крайних заданных точек в положение бесконечно-удаленной точки.
Если z1 = ∞, то
параметры дробно-линейного преобразования
(8)
Если z3 = ∞ , то
(9)
Рассмотрим случай, когда
функции принадлежности представляются S – образной или просто наклонной кривой.
В этом случае имеет место линейное отображение прямой
(10)
Параметры преобразования
(10)
(11)
(12)
5. Построение функции
принадлежности на основе ранговых оценок
Данный метод разработан
А.П. Ротштейном и базируется на идее распределения степени принадлежности
элементов универсального множества согласно с их рангами.
Будем понимать под рангом
элемента хіÎ Х число rs(xi), которое характеризует значимость этого
элемента в формировании свойства, которое описывается нечетким термом .
Допускаем, что выполняется правило: чем больший ранг элемента, тем больше
степень принадлежности.
Введем также обозначения:
Тогда правило
распределения степеней принадлежности можно задать в виде соотношения:
(13)
к которому добавляется
условие нормирования
(14)
Используя соотношение
(13) легко определить степени принадлежности всех элементов универсального
множества через степени принадлежности опорного элемента.
Если опорным элементом
является элемент х1 Î Х с принадлежностью m 1, то
(15)
Для опорного элемента х2
Î Х с принадлежностью m 2, получаем
(16)
Для опорного элемента хn
Î Х с принадлежностью m n, имеем
(17)
Учитывая условие
нормировки (14) из соотношений (15) – (17) находим:
(18)
Полученные формулы (18)
дают возможность вычислять степени принадлежности m S(xi) двумя независимыми
путями:
- по абсолютным оценкам
уровней ri , , которые
определяются по 9-ти бальной шкале (1 – наименьший ранг, 9 – наибольший ранг).
- по относительным
оценкам рангов
которые образуют матрицу:
(19)
Эта матрица обладает
следующими свойствами:
а) она диагональная, т.е.
аiі=1 ;
б) элементы, которые
симметричны относительно главной диагонали, связаны зависимостью: аij=1/аji;
в) она транзитивна, т.е.
аiк× акi, поскольку
Наличие этих свойств
приводит к тому, что при известных элементах одной строки матрицы А легко
определить элементы всех других строк. Если известна r-я строка, т.е. элементы
акj, k , , то
произвольный элемент аij находиться так
Поскольку матрица (19)
может быть интерпретирована как матрица парных сравнений рангов, то для
экспертных оценок элементов этой матрицы можно использовать 9 – ти бальную
шкалу Саати: . Эта шкала приведена ранее, в табл. 1.
Таким образом, с помощью
полученных формул (6.5.18), экспертные значения о рангах элементов или их
парные сравнения преобразуются в функцию принадлежности нечеткого терма.
Алгоритм построения
функции принадлежности включает в себя следующие операции:
1. Задать лингвистическую
переменную;
2. Определить
универсальное множество, на котором задается лингвистическая переменная;
3. Задать совокупность
нечетких термов {S1, S2, ... , Sm}, которые используются для оценки переменной;
4. Для каждого терма Sj , сформировать матрицу (19);
5. Используя формулы (18)
вычислить элементы функций принадлежности для каждого терма.
Нормирование найденных
функций осуществляется путем деления на наибольшие степени принадлежности.
Главным преимуществом
метода является то, что в отличие от метода парных сравнений, он не требует
решения характеристического уравнения. Полученные соотношения дают возможность
вычислять функции принадлежности с использованием ранговых оценок, которые
достаточно легко получить при экспертном опросе.
Кроме описанных методов
построения функций принадлежности, нашедших наиболее широкое практическое
применение, имеется еще значительное число методов, описанных в литературе (метод
интервальных оценок, метод семантического дифференциала и т.д.).
При выборе метода
необходимо учитывать, как правило, сложность получения экспертной информации,
особенно организации и проведения экспертизы, достоверность экспертной
информации, трудоемкость алгоритма обработки информации при построении функции
принадлежности.
В нашем случае функция
принадлежности m (xi,j), входящая в формулу (4) для оценки качества системы
защиты информации, характеризует лингвистическую переменную "степень
выполнения j-го требования при защите от i-ой угрозы". В заключение рассмотрим
пример построения функции принадлежности m (хij)=m (xi) методом Ротштейна.
Рассмотрим лингвистическую
переменную "качество", характеризуемое степенью выполнения некоторого
требования. Эта лингвистическая переменная определена на универсальном множестве
вариантов: хі, .
Уровень качества будем оценивать такими нечеткими термами: Н – низкий; С –
средний; В – высокий.
Пусть в результате
экспертного опроса сформированы матрицы (19) для каждого терма. При сравнении
вариантов используется табл. 1.
матрица
статистический ранговый лингвистическая переменная
После обработки этих
матриц по формулам (18) получим функции принадлежности.