E1, B
|
E2, B
|
|
R1, Ом
|
L1, мГ
|
C1, мкФ
|
R2, Ом
|
L2, мГ
|
C2, мкФ
|
R3, Ом
|
L3, мГ
|
C3, мкФ
|
f, Гц
|
240
|
240
|
п/4
|
12
|
2
|
20
|
14
|
8
|
100
|
4
|
5
|
50
|
500
|
Решение.
1) На основании
законов Кирхгофа составим в общем виде систему уравнений для расчета токов во
всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:
а) дифференциальной
Исходя из первого закона
Кирхгофа для узла а:
i1+
i2+ i3 =
0;
Исходя из второго закона
Кирхгофа для контура bdab:
e1
= i1*R1+
1/C3* i3dt +i3 *R3;
Исходя из второго закона
Кирхгофа для контура bcab:
e2 =
1/C2*i2dt + L2*di2/dt + 1/C3*
i3dt +i3 *R3;
Получили систему из 3 уравнений:
i1+
i2+ i3 =
0;
e1
= i1*R1+ 1/C3* i3dt +i3
*R3;
e2
= 1/C2* i2dt + L2*di2/dt +
1/C3* i3dt +i3 *R3;
б) символической.
Исходя из первого
закона Кирхгофа для узла а:
I1+
I2+ I3 =
0;
Исходя из второго закона
Кирхгофа для контура bdab:
20.5
* E1 + 20.5 *j* E1 = I1*R1
- I3*j*1/wC3+ I3 *R3;
Исходя из второго закона
Кирхгофа для контура bcab:
E2 =
- I2*j*1/wC2+ I2*j*wL2 - I3*j*1/wC3
+ I3 *R3;
Получили систему из 3 уравнений:
I1+ I2+
I3 = 0;
20.5
* E1 + 20.5 *j* E1 = I1*R1
- I3*j*1/wC3+ I3 *R3;
Определить комплексы действующих
значений токов во всех ветвях, воспользовавшись методом двух узлов.
E1
=240*e j45
= 170+170j (B);
E2
=240*e j0
=240 (B);
R1
=12*e j0
=12 (Ом);
R3
=4*e j0
= 4 (Ом);
XL2
=wL2*e j90= 3.14*2*500*8=25.12*e j90
(Ом);
Xc2
= - 1/w C2*e j90= - 1/ (3.14*2*500*100) = - 3.18*e j90
(Ом);
Xc3
= - 1/w C2*e j90= - 1/ (3.14*2*500*50) = - 6.37*e j90
(Ом);
Запишем сопротивления ветвей в
комплексной форме:
Z1 =
R1 =12*e j0;
Z2 =
XL2 +XC2 =21.94*e j90;
Z3
= XL3 +R3
=5.92*e -j47.53;
Найдем проводимости ветвей:
y1=1/Z1=1/12*e
j0 =1/12;
y2=1/Z2=1/21.94*e - j90 =-j*1/21.94;
y3=1/Z3=1/5.92*e j47.53 =0.11405+0.12460j;
Найдем напряжение между узлами а
и b:
Uab=
(240*e j45
*1/12*e j0
- 240*e j0
*1/21.94*e j90) / (1/12-j*1/21.94 + +0.11405+0.12460*j) = (20*e j45 -10.97*e j90) / (0.19738+0.07902*j) = (14.14213-3.17213*j) / (0.21261 *e j21.8) =68.17*e -j9;
Uab
=67.33+ j* 0.93;
Найдем токи цепи:
I1=
(E1 - Uab) *y1= (170+j*170 - (67.33+j*0.93)) /12=16.48*e
j59;
I2=
(E2 - Uab) *y2= (240- (67.33+j*0.93)) /21.94*e
j90 =7.87*e - j91;
I3=
Uab*y1=68.17*e -j9 / (5.92*e -j47.53)
=11.51*e j36.53
По результатам, полученным в
пункте 2, определим показания ваттметра двумя способами:
а) с помощью
выражений для комплексов тока и напряжения;
б) по формуле UIcos (UI):
P= UIcos (UI) =197.76*16.48cos
(59 - 45) = 3162.3 (Вт);
Построим топографическую
диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов.
Построим круговую диаграмму для
тока во второй ветви при изменении модуля сопротивления этой ветви от 0 до . Для этого найдем максимальный ток Ik при
сопротивлении третей ветви, равном 0:
Ik =
E1*y1 + E2*y2 = (170+170j) /12 - 240*j*1/21.94
= 14.17+ 3.22j = =14.53*e12.8;
Найдем сопротивление цепи
относительно зажимов a и b:
Zab=1/
(y1+y2) +Z3=-1/ (j*1/21.94+1/12) + 0.11405+0.12460j
= 0.05+0.08j+ +0.11405+0.12460j=0.164+0.205j=0.26*e51;
В окружности
хорда равна Ik
= 14.53*e12.8;
коэффициент равен k=0.36;
вписанный угол = - 7
Пользуясь круговой
диаграммой построим график изменения этого тока в зависимости от модуля
сопротивления.
Используя данные
расчета, полученные в пункте 2, запишем выражения для мгновенных значений тока
и напряжения. Построим график зависимости одной из этих величин.
Uab=68.17*
sin (wt-9);
I2=11.51*
sin (wt + 36.53)
График - синусоиды, смещенные
относительно оу на 90 и - 36,530 соответственно.
Полагая, что между
двумя индуктивностями, расположенными в разных ветвях заданной системы, имеется
магнитная связь при коэффициенте магнитной индукции М (добавим вторую
индуктивность в 3 ветвь) составим в общем виде систему уравнений для расчета
токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:
а) дифференциальной;
б) символической
1) На основании
законов Кирхгофа составим в общем виде систему уравнений для расчета токов во
всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:
а) дифференциальной.
Исходя из первого закона Кирхгофа для узла а:
i1+
i2+ i3 =
0;
Исходя из второго закона
Кирхгофа для контура bdab:
e1 =
i1*R1+ 1/C3* i3dt + L3*di3/dt
- M23*di2/dt + i3 *R3;
Исходя из второго закона
Кирхгофа для контура bcab:
e2 =
1/C2*i2dt + L2*di2/dt - M23*di3/dt+
1/C3* i3dt+ L3*di3/dt - M32*di3/dt+i3
*R3;
Получили систему из 3 уравнений:
i1+
i2+ i3 =
0;
e1
= i1*R1+ 1/C3* i3dt + L3*di3/dt
- M23*di2/dt + i3 *R3;
e2
= 1/C2*i2dt + L2*di2/dt - M23*di3/dt+
1/C3* i3dt+ L3*di3/dt - M32*di3/dt+i3
*R3;
б) символической.
Исходя из первого
закона Кирхгофа для узла а:
I1+
I2+ I3 =
0;
Исходя из второго закона
Кирхгофа для контура bdab:
20.5
* E1 + 20.5 *j* E1 = I1*R1
- I3*j*1/wC3+ I3 *R3 +I3*j*wL3
- I2*j*wM32;
Исходя из второго закона
Кирхгофа для контура bcab:
E2 =
- I2*j*1/wC2+I2*j*wL2-I2*j*wM32
- I3*j*1/wC3 + I3 *R3 - I3*j*wM23;
Получили систему из 3 уравнений:
I1+ I2+
I3 = 0;
20.5
* E1 + 20.5 *j* E1 = I1*R1
- I3*j*1/wC3+ I3 *R3 +I3*j*wL3
-I2*j*wM32;
E2
= - I2*j*1/wC2+I2*j*wL2-I2*j*wM32
- I3*j*1/wC3 + I3 *R3 - I3*j*wM23;
Задача 5. Два
электродвигателя переменного тока подключены параллельно к цепи с напряжением u2и работают с низким коэффициентом мощности cos1. Измерительные приборы
в цепи каждого электродвигателя показывают токи I1
и I1 и
мощности Р1 и Р2. Провода линии
электропередачи имеют активное сопротивление r0
и индуктивное x0. Численные значения всех величин, необходимых для расчета, приведены в
таблице вариантов. Необходимо:
Ток в линии
Напряжение в начале линии
Потерю и падение напряжения в
линии
Активную, реактивную и полную
мощности в конце линии и мощность потерь в проводах
Коэффициент мощности установки
КПД линии
Б. Рассчитать
компенсационную установку для получения cos2=0,95
и определить для указанного значения коэффициента мощности
емкость и мощность батареи конденсаторов.
В. Выполнить расчет цепи
при условии работы компенсационной установки и найти величины, указанные в
пункте А. Полученные результаты свести в таблицу и сравнить для
различных режимов работы электродвигателя (до компенсации и при cos2=0,95). Отметить, какие
выводы дает улучшение коэффициента мощности установки.
Дано.
R0, Ом
|
Х0, Ом
|
I1, А
|
I2, А
|
Р1, кВт
|
Р2, кВт
|
U2, В
|
0,06
|
0,05
|
90
|
70
|
15
|
12
|
220
|
Решение.
А. Найдем активное
сопротивление каждого электродвигателя, исходя из того, что активная мощность
равна произведению активного сопротивления на квадрат тока ветви. Значит:
R1=P1/I12 =1.852
(Ом);
R2=P2/I22 =2.449
(Ом);
Найдем реактивную мощность
каждого электродвигателя, как произведение тока на напряжение:
Q1=U1
* I1 =19800 (Bт);
Q2=U2
* I2 =15400 (Bт);
Найдем полную мощность каждого
электродвигателя, как корень квадратный из разности полной и активной мощностей:
S1=
(Q12 +! P12) 0.5 =12924
(Bт);
S2=
(Q22 +! P22)
0.5 =9651 (Bт);
Найдем реактивное сопротивление
каждого электродвигателя, исходя из того, что реактивная мощность равна
произведению реактивного сопротивления на квадрат тока ветви (реактивное
сопротивление является индуктивным):
XL1=S1/I12
=1.596 (Ом);
XL2=S2/I22
=1,970 (Ом);
Найдем полное сопротивление
каждого электродвигателя, исходя из того, что полное сопротивление равно корню
квадратному из суммы квадратов его активной и реактивной составляющих:
Z1=
(XL12 + R12) 0.5=2,444
Z2=
(XL22 + R22) 0.5=3,143
Найдем активную проводимость
параллельного участка:
g = g1 + g2; где
g1
=R1/ Z12;
g2
=R2/ Z22;
Значит
g = g1 + g2 = R1/ Z12
+ R2/ Z22
= 0.558
Найдем реактивную проводимость
параллельного участка:
b=b1+ b1; где
b1
= XL1/ Z12;
b2
= XL2/ Z22;
Значит
b=b1+ b1 = XL1/ Z12
+ XL2/ Z22
=0.467;
Найдем проводимость
параллельного участка, исходя из того, что полная проводимость равна корню квадратному
из суммы квадратов ее активной и реактивной составляющих:
y= (g12 + b22)
0.5=0.727;
Найдем полный ток цепи, как
произведение напряжения параллельного участка на проводимость параллельного
участка:
I=U2 * y=160 (A);
Составим эквивалентную схему,
заменив параллельный участок на эквивалентные активные и реактивные
сопротивления:
Найдем
эквивалентные активные и реактивные сопротивления параллельного участка:
R12
=g12/y122 =1.055 (Ом);
XL12
=b12/y122 =0.882 (Ом);
Найдем полное сопротивление
параллельного участка:
Z12=
(R122 + XL122)
0.5=1.375 (Ом);
Найдем полное активное
сопротивление цепи (сумма всех активных сопротивлений):
R= 2*R0 + R12 =1,175
(Ом);
Найдем полное реактивное
сопротивление цепи (сумма всех реактивных сопротивлений):
XL
= 2*XL0 + XL12
= 0,982 (Ом);
Найдем полное
сопротивление цепи, как корень квадратный из суммы квадратов активного и
реактивного сопротивлений:
Z = (XL2 + R2)
0.5= 1.531 (Ом);
Найдем полное напряжение цепи,
как произведение полного тока цепи на полное сопротивление цепи:
Зная полный ток цепи, найдем
падение напряжения в проводах линии на активном сопротивлении:
Uа0
= I * 2*R0 = 19,20 (B);
Зная полный ток цепи, найдем
падение напряжения в проводах линии на реактивном сопротивлении:
Uр0
= I * 2*XL0 =
15,00 (B);
Найдем полное падение напряжения
цепи в проводах линии, как корень квадратный из суммы квадратов падения
напряжения в проводах линии на активном и реактивном сопротивлениях:
U0
= (Uа02 + Uр02)
0,5 =25 (В);
Найдем активную,
реактивную и полную мощности в конце линии и мощность потерь в проводах, исходя
из того, что полная мощность в конце линии равна произведению полного тока
линии на напряжение в конце линии:
P= I2
*R12 =27008 (Вт); Q= I2 *XL12 =22579 (Вт);
S= (P2 + Q2) 0.5=35202
(Вт);
Найдем коэффициент мощности
установки:
cos=
R12/Z12= R12/ (R122
+ XL122) 0.5=0.558;
Найдем коэффициент полезной
мощности ЛЭП:
= (U - Ua0)
/ U=0.90;
Б. Рассчитаем
компенсационную установку для получения cos2=0,95
и определим для указанного значения коэффициента мощности емкость
и мощность батареи конденсаторов.
Заменим данную
схему на эквивалентную с учетом результатов, полученных в п.А.
Пусть емкостное сопротивление
батареи конденсаторов составляет XС Ом. Найдем проводимость параллельного участка.
g = g1 + g2; где
g1
=Rэкв/ Z12;
g2
=0;
Значит
g = g1 + g2 = Rэкв/ Z12
+ 0= 0,558;
Найдем реактивную проводимость
параллельного участка:
b=b1 - b1; где
b1
= XLэкв/ Z12;
b2
= XС/ Z22;
Значит
b=b1+ b1 = XL1/ Z12
- 1/ XC2 =0.467 - 1/ XC2;
Найдем проводимость
параллельного участка, исходя из того, что полная проводимость равна корню
квадратному из суммы квадратов ее активной и реактивной составляющих:
y= (g12 + b22)
0.5= (0,311364 + (0.467 - 1/ XC2)
2) 0.5;
Заменим данную схему на
эквивалентную, заменив участок с параллельным соединением на сопротивление Zпар активно-индуктивного характера:
где
Rпар=
g/y2=0.558/ (0,311364
+ (0.467 - 1/ XC2) 2);
XLпар=
b/y2= (0.467 - 1/ XC2) / (0,311364 + (0.467 -
1/ XC2) 2);
Найдем полное активное
сопротивление цепи (сумма всех активных сопротивлений):
R= 2*R0 + Rпар =0,1
+ 0.558/ (0,311364 + (0.467 - 1/ XC2)
2) (Ом);
Найдем полное
реактивное сопротивление цепи (сумма всех реактивных сопротивлений):
XL=2*XL0+XL12
= 0,12+ (0.467-1/ XC2) / (0,311364
+ (0.467 - 1/ XC2) 2)
(Ом); Поскольку cos2=0,95
то tg2=0.33, значит
XL/R=0.33,0,1 + 0.558/ (0,311364 + (0.467 - 1/XC2) 2) = 3* (0,12+ (0.467-1/
XC2) / / (0,311364+ (0.467-1/ XC2) 2));
Решим уравнение относительно XC2
1/ (0,311364
+ (0.467 - 1/XC2) 2) =0.654+1.8* (0.467-1/
XC2) / (0,311364+ (0.467-1/ XC2) 2));
1 = 0,654* (0,311364+
(0.467-1/ XC2) 2) + 1.8* (0.467-1/ XC2)
(0.467-1/ XC2)
2 +2.752* (0.467-1/ XC2) - 1.529=0
(0.467-1/ XC2)
=1.376+1.850=3.226
(0.467-1/ XC2)
=1.376 - 1.850= - 0.474, 1/ XC2 =-2.859,
1/ XC2 =0.941
Значит
XC =1.031 (Ом);
Значит, емкость
батареи конденсаторов составляет:
C= 1/wXC
=308 (мкФ)
В. Найдем полное активное
сопротивление цепи (сумма всех активных сопротивлений):
R= 2*R0 + Rпар =0,1
+ 0.558/ (0,314 + (0.467 - 1/ XC2)
2) = 1,03 (Ом);
Найдем полное
реактивное сопротивление цепи (сумма всех реактивных сопротивлений):
XL=2*XL0+XL12 = 0,12+ (0.467-1/ XC2) / (0,311364 + (0.467 - 1/ XC2)
2) =
= 0,34 (Ом);
Найдем полное
сопротивление цепи, как корень квадратный из суммы квадратов активного и
реактивного сопротивлений:
Z = (XL2 + R2)
0.5= 1,09 (Ом);
Найдем ток цепи,
как отношение полного напряжения цепи к полное сопротивление цепи:
I=U / Z = 225.7
(A);
Зная полный ток цепи, найдем
падение напряжения в проводах линии на активном сопротивлении:
Uа0
= I * 2*R0 = 22.58 (B);
Зная полный ток цепи, найдем
падение напряжения в проводах линии на реактивном сопротивлении:
Uр0 = I * 2*XL0 = 27.09 (B);
Найдем полное падение напряжения
цепи в проводах линии, как корень квадратный из суммы квадратов падения
напряжения в проводах линии на активном и реактивном сопротивлениях:
Uа0
= (Uа02 + Uр02)
0,5 = 38.31 (В);
Найдем активную,
реактивную и полную мощности в конце линии и мощность потерь в проводах, исходя
из того, что полная мощность в конце линии равна произведению полного тока
линии на напряжение в конце линии:
P= I2
*R12 =50459 (Вт);
Q= I2
*XL12 =11213 (Вт);
S= (P2 +
Q2) 0.5=51690 (Вт);
Найдем коэффициент мощности
установки:
Найдем коэффициент полезной
мощности ЛЭП:
= (U - Ua0)
/ U=0.85;
Составим сводную таблицу:
Характеристика
|
Без конденсаторов
|
С батареей конденсат.
|
I, A
|
160
|
225.7
|
Напряжение в начале линии,
U, В
|
245
|
245
|
Падение напряжения цепи в проводах линии, U0, В
|
25
|
38,31
|
Потеря напряжения цепи в проводах линии, Uа0, В
|
19, 20
|
22,58
|
Активная мощность Р, Вт
|
27008
|
50459
|
Реактивная мощность Q, Вт
|
22579
|
11213
|
Полная мощность S, Вт
|
35202
|
51690
|
Коэффициент мощности установки
|
0,56
|
0,95
|
Выводы:
При повышении коэффициента
мощности установки ток линии повышается;
Повышается активная мощность
установки, и понижается реактивная мощность;
Повышаются токи
электродвигателей, что приводит к необходимости увеличивать сечение обмоток.