Інтегральні характеристики векторних полів
інтегральні характеристики векторних полів
1.
Диференціальні операції другого порядку
Нехай в області задані скалярне поле і векторне поле , причому функції мають в області неперервні частинні похідні
другого порядку. Тоді і
є диференційовними
векторними полями, а –
диференційовним скалярним полем.
До векторних
полів і можна застосувати операції
обчислення дивергенції і ротора, а до скалярного поля – операцію обчислення градієнта. Таким чином,
отримуємо повторні операції:
.
Операцію називають оператором
Лапласа і позначають також символом :
.
З допомогою
оператора Гамільтона оператор Лапласа записується у вигляді
.
Враховуючи, що
,
дістаємо
.
Функція , яка задовольняє в деякій
області рівняння Лапласа ,
називається гармонічною в цій області. Наприклад, лінійна функція є гармонічною в довільній
області. Оператор Лапласа широко застосовується в рівняннях математичної
фізики. Відзначимо, зокрема, що потенціал електричного поля точкового заряду
або поля тяжіння точкової маси, який має вигляд , при задовольняє рівняння Лапласа:
(потенціальне
векторне поле є
безвихровим) і
(векторне поле є соленоїдальним).
1. Дві інші
повторні операції і пов’язані співвідношенням
, (1)
де – вектор-функція,
координатами якої є результати застосування оператора Лапласа до функцій .
2. Розкладання
векторного поля на суму потенціального і соленоїдального полів
Довільне
неперервно диференційовне векторне поле може бути зображено у вигляді
, (2)
де – потенціальне поле, – соленоїдальне поле.
Дійсно, за
означенням потенціальне векторне поле є градієнтом деякого скалярного поля : . Тому для вектора із рівності (2) маємо
. (3)
Щоб векторне поле
було соленоїдальним,
воно має задовольняти умову , звідси, враховуючи рівність (3), знаходимо
.
Таким чином, для
скалярного потенціала поля отримуємо рівняння
, (4)
де – відома функція даного поля .
Отже, якщо
функція є розв’язком
рівняння (4), то, поклавши , , отримаємо зображення поля у вигляді (2), де – потенціальне поле, – соленоїдальне поле.
Рівняння (2) –
неоднорідне рівняння в частинних похідних другого порядку, яке називається
рівнянням Пуассона:
.
Відзначимо, що це
рівняння має (нескінченну) множину розв’язків, тому зображення поля у вигляді (2) не є єдиним.
2. Потік
векторного поля
Розглянемо
векторне поле ,
визначене в просторовій області , і деяку кусково-гладку орієнтовну поверхню . Нехай – поле одиничних нормалей на обраній стороні
поверхні .
Як було
відзначено в п. 4.2, поверхневий інтеграл
(5)
називається
потоком векторного поля через
поверхню в сторону,
яка визначається вектором (кажуть також «потік через обрану сторону
поверхні »).
Якщо взяти іншу
сторону поверхні (змінити орієнтацію), то вектор змінить напрям на протилежний; тому скалярний
добуток , а отже, і
потік (поверхневий інтеграл (5)) змінить знак.
Якщо – швидкість рухомої рідини,
то є кількістю
(об’ємом) рідини, яка протікає через поверхню у напрямі нормалі за одиницю часу. Ця величина називається у
фізиці (гідродинаміці) потоком рідини через поверхню . Тому і у випадку довільного векторного поля інтеграл (5) називається
потоком векторного поля через поверхню .
Розглянемо
електричне поле точкового
заряду , який міститься
в точці . Знайдемо
потік векторного поля через
зовнішню сторону сфери радіуса
з центром у точці . Нехай ( – точка на сфері ); тоді . Тому
,
де – діелектрична проникність
середовища, .
Якщо в системі
координат , а , то вираз (5) для потоку векторного
поля можна записати у
вигляді
. (6)
Кожен доданок у
правій частині рівності (6) залежить від вибору системи координат, проте їх
сума, тобто потік ,
очевидно, не залежить від вибору системи координат.
3. Формула
Остроградського-Гаусса в векторній формі
Нехай в області визначено векторне поле ; – замкнена поверхня, яка обмежує область ; – одиничний вектор зовнішньої нормалі до
поверхні у точці .
Нехай, далі, та їхні частинні похідні неперервні в області . Тоді справедлива формула
Остроградського-Гаусса:
. (7)
Підінтегральна
функція в потрійному інтегралі є , а поверхневий інтеграл – потік векторного
поля через поверхню . Тому формулу (7) можна
записати у векторній формі:
. (8)
Фізичний зміст
формули Остроградського-Гаусса: потік векторного поля через замкнену поверхню в сторону зовнішньої
нормалі дорівнює потрійному інтегралу по області, обмеженій цією поверхнею, від
дивергенції векторного поля . Щоб потік був відмінним від нуля, всередині
області мають бути
джерела (або стоки) поля. Із формули Остроградського-Гаусса випливає, що тоді є відмінною від нуля. Таким
чином, характеризує
джерела поля. Само векторне поле як би розходиться від джерел. Звідси і
походить назва «розбіжність» або «дивергенція».
4. Властивості
соленоїдального поля
Як відомо,
векторне поле , яке
задовольняє в області умову
, називається
соленоїдальним в цій області. Нехай область є об’ємно однозв’язною. Це означає, що, якщо
кусково-гладка замкнена поверхня лежить в області , то і область, яка обмежує поверхню , цілком належить області . Прикладами об’ємно однозв’язних
областей є куля, паралелепіпед, тор. Відзначимо, що тор не є поверхнево
однозв’язною областю. Область, яка знаходиться між двома сферами, не є об’ємно
однозв’язною (але є поверхнево однозв’язною).
Із формули
Остроградського-Гаусса випливає, що соленоїдальне поле в взаємно однозв’язній
області має таку властивість: потік соленоїдального поля через довільну
замкнену поверхню, яка знаходиться в цій області, дорівнює нулю.
Відзначимо, що,
якщо область не є об’ємно однозв’язною, то потік соленоїдального (в цій
області) поля через замкнену поверхню, яка знаходиться в області, може бути
відмінним від нуля. Так електричне поле точкового заряду, який міститься в точці , є соленоїдальним в кулі з
викинутим центром (
при ).
Слово
«соленоїдальне» означає «трубасте». Для соленоїдального поля є справедливим
закон збереження інтенсивності векторної трубки. З’ясуємо суть цього закону.
Нехай – соленоїдальне поле.
Розглянемо відрізок «векторної трубки», тобто область, обмежену двома
перерізами і та боковою поверхнею , яка складається із
векторних ліній (рис. 1). Застосуємо до такої області формулу
Остроградського-Гаусса (8). Оскільки в
соленоїдальному полі , то
потік векторного поля через
поверхню області дорівнює нулю: ( – одиничний вектор зовнішньої нормалі). На
боковій поверхні маємо
, тому .
Отже,
.
Рисунок 1 –
Відрізок «векторної трубки»
Змінимо на
перерізі напрям
нормалі на протилежний
( – внутрішня нормаль
до ). Тоді отримаємо
,
де обидва потоки
через перерізи і обчислюються в напрямі
векторних ліній.
Таким чином, у
соленоїдальному (трубчастому) векторному полі потік через будь-який переріз векторної трубки
набуває одного й того самого значення. Це і є закон збереження інтенсивності
збереження векторної трубки.
Нехай в області , обмеженій поверхнею , визначено векторне поле . Запишемо формулу (8) для
векторного поля в
області . Застосовуючи
до лівої частини цієї формули теорему про середнє, отримаємо
або
,
де – об’єм області , а – деяка точка області .
Зафіксуємо точку і стягуватимемо область до точки так, щоб залишалася внутрішньою точкою області . Тоді , а прямуватиме до . Внаслідок неперервності значення прямуватиме до . Таким чином, отримуємо
. (9)
У праву частину
формули (9) входять величини, інваріантні відносно вибору системи координат
(потік векторного поля через поверхню і об’єм області). Тому формула (9) дає
інваріантне означення дивергенції векторного поля. Отже, дивергенція векторного
поля залежить тільки від самого поля і не залежить від вибору системи
координат.
6. Циркуляція
векторного поля
Розглянемо
векторне поле , визначене
в просторовій області ,
і деяку кусково-гладку криву , на якій вказано напрям обходу (вибір напряму
обходу називають також орієнтацією кривої). Нехай – одиничний дотичний вектор до кривої у точці , напрямлений в сторону обходу
кривої.
Криволінійний
інтеграл
(10)
називається
циркуляцією векторного поля вздовж кривої у заданому напрямі.
Якщо взяти інший
напрям обходу кривої (змінити орієнтацію), то вектор змінить напрям на протилежний, тому скалярний
добуток , а, отже, і
циркуляція (криволінійний інтеграл (10)) змінить знак.
Якщо – силове векторне поле,
тобто – вектор сили,
то циркуляція визначає
роботу силового векторного поля вздовж кривої в заданому напрямі.
Якщо в
прямокутній системі координат , а , то вираз (10) для циркуляції векторного поля можна записати в вигляді
. (11)
Кожний доданок у
правій частині (11) залежить від вибору системи координат, проте їхня сума,
тобто циркуляція ,
очевидно, не залежить від вибору системи координат.
Якщо ввести
вектор , то циркуляцію
можна записати у вигляді (порівняйте
з правою частиною рівності (11)).
7. Формула
Стокса у векторній формі
Нехай в області визначено векторне поле ; – замкнений контур, який лежить в області ; – довільна поверхня, межею якої є контур ; («поверхня натягнута на контур »); – одиничний вектор нормалі на обраній стороні
поверхні .
Нехай функції та їхні частинні похідні
першого порядку неперервні на поверхні . Тоді справедлива формула Стокса
,
де орієнтація
контуру узгоджена з
орієнтацією поверхні .
Ліва частина формули Стокса є циркуляцією векторного поля вздовж контура , а права частина визначає потік
через поверхню векторного
поля з координатами ,
тобто потік через
поверхню . Тому формулу
Стокса можна записати у векторній формі:
(12)
або
. (13)
Фізичний зміст
формули Стокса: циркуляція векторного поля вздовж замкненого контуру дорівнює потоку
ротора векторного поля через
поверхню, натягнуту на цей контур.
8. Властивості
потенціального поля
Як відомо,
векторне поле , яке
задовольняє в області умову
, називається
потенціальним у цій області ( – скалярний потенціал поля ). Якщо поле потенціальне в області , то і вираз є повним диференціалом функції в області . Це означає, що виконана умова незалежності
криволінійного інтеграла від шляху інтегрування в просторі.
Таким чином,
потенціальне в області поле
має такі властивості.
1. Циркуляція
потенціального поля вздовж
довільного замкненого контуру дорівнює нулю:
.
2. Для довільних
точок і області циркуляція потенціального поля вздовж кривої не залежить від вибору кривої і дорівнює різниці значень
потенціала в точках і :
.
У випадку
силового потенціального поля ця властивість означає, що робота такого поля
вздовж кривої не
залежить від вибору кривої, а залежить тільки від початкової і кінцевої точок і .
3. Потенціальне
поле є безвихровим,
тобто .
Нехай тепер дано
векторне поле , яке
задовольняє в області умову
. Чи випливає звідси,
що поле є
потенціальним в області ?
Відповідь на це запитання залежить від форми області . Якщо область є поверхнево однозв’язною, то із умови випливає, що існує функція така, що
.
Отже, , тобто поле є потенціальним в області .
Таким чином,
умова є необхідною і
достатньою умовою потенціальності поля у поверхнево однозв’язній області.
Потенціал потенціального поля у поверхнево однозв’язній
області можна обчислити за формулою:
. (14)
Якщо область не є поверхнево однозв’язною,
то умова не є
достатньою для потенціальності поля в області .
9. Інваріантне
означення ротора
Нехай в області визначено векторне поле . Зафіксуємо точку і деяку площину, яка
проходить через цю точку. Нехай – одиничний вектор нормалі до площини, – замкнений контур, який
лежить в площині і обмежує область таку, що – внутрішня точка області . Запишемо формулу (12) для
векторного поля в
області . Застосовуючи
до правої частини цієї формули теорему про середнє, отримуємо
,
диференціальне
векторне поле формула соленоїдальне
звідки
,
де – площа області , – деяка точка області .
Стягуватимемо
область до точки так, щоб залишалася внутрішньою точкою
області . Тоді , а прямуватимемо до . Внаслідок неперервності значення прямуватимемо до . Таким чином, отримуємо
.
У праву частину
формули входять величини, інваріантні відносно вибору системи координат
(циркуляція векторного поля вздовж замкненого контура і площа плоскої області).
Тому дана формула дає інваріантне означення проекції в точці на напрям, який виражається заданим вектором .
Отже, проекція
ротора векторного поля на довільний напрям, а отже, і сам залежить тільки від векторного поля і не залежить від вибору
системи координат.
Для означення
вектора вищезазначеним
способом достатньо розглянути в заданій точці проекції на три довільних некомпланарних напрями.
Такими трьома проекціями визначається
однозначно.