|
-1,2
|
()
|
0
|
()
|
1
|
()
|
2,5
|
Знак
|
|
-
|
|
+
|
|
-
|
|
Величина
|
32,88
|
|
-6
|
|
-1
|
|
244
|
Экстремум
|
|
|
m
|
|
|
|
M
|
Итак,
В данном случае один из глобальных
экстремумов совпадает с одним из локальных экстремумов.
6. Задача 6
Вычислить
неопределенный интеграл методом подстановки
Решение
Выполним подстановку:
Продифференцируем обе
части уравнения:
=
7. Задача 7
Вычислить неопределенный
интеграл от рациональной дроби
Решение
1. Найдем производную
знаменателя:
2. Выделим в числителе выражение
, для этого умножим знаменатель на 2 и
умножим дробь на , чтобы значение дроби не
изменилось, и вынесем за знак интеграла.
3. Запишем число , как ,
получим:
4. Разлагаем
подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей:
5. Вычислим интеграл , для этого выражение внесем под знак дифференциала. Интеграл
принимает табличный вид:
6. Вычислим интеграл , для этого выделим в знаменателе
полный квадрат.
Интеграл принимает
табличный вид:
7. Записываем решение:
8. Задача 8
Вычислить определенный
интеграл методом интегрирования по частям
Решение
9. Задача 9
По
заданным координатам вершинам А, В, С треугольника определить его длины сторон,
углы и площадь
А(-5;
-5; 3);В(-4; 1; 1);С(1; 4; 0)
Решение
1. Записываем стороны
треугольника в форме линейных разложений векторов и строим векторную схему
треугольника (рис.1):
Рис. 2 Схема
треугольника
2 Вычисляем длины сторон:
3. Определяем углы
треугольника,
следовательно, =23.3o
следовательно, 25,4о
Угол по формуле .
Следовательно, ,
4. Проверяем
достоверность вычисления углов треугольника
следовательно, все
расчеты выполнены правильно.
5. Вычисляем площадь
треугольника:
10. Задача 10
Найти для заданной
матрицы присоединенную и
обратную матрицы
Решение
1.Вычисляем определитель матрицы
Итак, матрица неособенная
и для нее существует обратная матрица .
2. Вычисляем для всех
элементов матрицы алгебраические дополнения:
3. Записываем присоединенную
матрицу:
4. Вычисляем обратную
матрицу
5. Проверяем
достоверность вычисления обратной матрицы, умножая ее на исходную матрицу
=
Получили единичную
матрицу, следовательно, задача решена верно.
11. Задача 11
Найти произведения и квадратных
матриц и
Решение
Обе перемножаемые матрицы
третьего порядка, поэтому умножение их всегда возможно по обычному правилу:
1. Находим прямое произведение матриц
(умножение слева направо)
2. Находим обратное
произведение матриц (умножение справа налево)
12. Задача 12
Найти произведение прямоугольных матриц
Решение
1. Сопоставляя размеры
заданных матриц
,
устанавливаем, что эти
прямоугольные матрицы можно перемножать, при этом результирующая матрица будет
иметь размеры 3х1:
2. Находим прямое
произведение матриц (умножение слева направо)
13. Задача 13
Решить систему линейных
уравнений методами Гаусса, Крамера и в матричной форме
Решение
1. Решаем систему методом
Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид:
то есть решение сводится
к вычислению четырех определителей третьего порядка.
2. Вычисляем определитель
системы:
так как определитель
системы , следовательно, система имеет решение и
при этом одно.
3. Вычисляем остальные
определители:
4. Вычисляем значения
неизвестных:
Итак, решение системы
имеет вид: (1, 2, 1).
2. Решение в матричной
форме.
В общем случае решение
СЛАУ в матричной форме имеет вид:
.
1. Записываем компоненты
заданной СЛАУ в явном виде:
,
,
2. Вычисляем определитель
матрицы :
Итак, матрица неособенная и для нее существует
обратная матрица .
3. Вычисляем
алгебраические дополнения для всех элементов матрицы:
4. Записываем
присоединенную матрицу в явном виде:
5. Вычисляем обратную
матрицу :
6. Проверяем
достоверность вычисления обратной матрицы по условию:
Следовательно, обратная
матрица вычислена верно.
7. Решаем заданную
систему уравнений:
или (1,
2, 1).
3. Метод Гаусса
1. Запишем СЛАУ в виде
матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее:
Первую строку оставляем
без изменения. Умножаем элементы первой строки на (-3) и прибавляем к
соответствующим элементам второй строки. Получим:
Затем умножаем элементы
первой строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки.
Умножаем элементы третьей
строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки.
Первую и вторую строки
оставляем без изменения. Умножаем элементы второй строки на 3 и прибавляем к
соответствующим элементам третьей строки. Получим:
Вычисляем значения
переменных СЛАУ снизу вверх:
Итак, решение системы
уравнений имеет вид:
, ,
или в краткой форме:
(1,2,1).
14. Задача 14
Определить число
элементарных событий и простых соединений
Сколько есть двузначных
чисел, у которых обе цифры четные?
Решение
Всего четных цифр 4
(2,4,6,8), значит существует 4 способа выбора первой цифры двузначного числа и
4 способа выбора второй цифры. Так как выбор цифр осуществляется одновременно,
по правилу произведения вычислим количество двузначных чисел, у которых обе
цифры четные:
15. Задача 15
Вычислить вероятность
события по классической схеме
Имеется 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Какова
вероятность того, что из 3 наудачу выбранных билета 2 окажутся на места первого
ряда?
Решение
1. Определяем общее
количество способов, которыми можно взять 3 билета из 6.
2. Определяем количество
способов взять три билета, в том числе два на места первого ряда и один на
другой ряд:
3. Вероятность искомого
события:
16. Задача 16
Вычислить вероятность
события с использованием теорем сложения и умножения.
Охотник выстрелил три раза по удаляющейся мишени. Вероятность попадания в
нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1.
Найти вероятность того, что он попал в цель все три раза.
Решение
Пусть
P(A) – вероятность попадания 3 раза,
P(B) – вероятность попадания в 1-й раз,
P(C) – вероятность попадания во 2-й раз,
P(D) – вероятность попадания в 3-й раз.
Тогда
P(B)=0,8
P(C)= P(B)-0,1=0,8-0,1=0,7
P(D)= P(C)-0,1=0,7-0,1=0,6
P(A)=P(B) ∙P(C) ∙P(D)=0,8∙0,7∙0,6=0,336
17. Задача 17
Вычисление вероятности
повторных независимых испытаний
Определить вероятность
того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не более трех девочек. Вероятность
рождения мальчиков и девочек считаем одинаковой.
Решение
Используем формулу Я.
Бернулли:
1. Определяем исходные
данные для формулы Бернулли:
n=5, k=3, p=0,5,
q=1-0,5=0,5
2. Вычисление вероятности
искомого события:
18. Задача 18
Найти законы
распределения случайных величин и , если законы распределения случайных
величин и имеют
вид
|
0
|
2
|
4
|
6
|
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
|
3
|
5
|
7
|
9
|
|
0,3
|
0,2
|
0,2
|
0,3
|
Решение
Вычисления производим в
табличной форме на основании определения разности и произведения случайных
величин.
1. Вычисляем
промежуточные величины для вычисления распределения переменной величины Z=Х-Y (разности двух случайных величин), используя табл.2.
Таблица 2.
|
|
3
|
5
|
7
|
9
|
|
0.3
|
0.2
|
0.2
|
0.3
|
0
|
0.1
|
-3 0.03
|
-5 0.02
|
-7 0.02
|
-9 0.03
|
2
|
0.2
|
-1 0.06
|
-3 0.04
|
-5 0.04
|
-7 0.06
|
4
|
0.3
|
1 0.09
|
-1 0.06
|
-3 0.06
|
-5 0.09
|
6
|
0.4
|
1 0.08
|
-1 0.08
|
-3 0.12
|
2. Записываем закон
распределения случайной величины Z=X-Y в табл.3.
Таблица 3
|
-9
|
-7
|
-5
|
-3
|
-1
|
1
|
3
|
|
0.03
|
0.08
|
0.15
|
0.25
|
0.2
|
0.17
|
0.12
|
2. Проверяем достоверность вычислений:
0.03+0.08+0.15+0.25+0.2+0.17+0.12=1.0
4. Вычисляем
промежуточные величины для вычисления распределения случайной величины (произведения тех же случайных
величин), используя табл.4.
Таблица 4
|
|
3
|
5
|
7
|
9
|
|
0.3
|
0.2
|
0.2
|
0.3
|
0
|
0.1
|
0 0.03
|
0 0.02
|
0 0.02
|
0 0.03
|
2
|
0.2
|
6 0.06
|
10 0.04
|
14 0.04
|
18 0.06
|
4
|
0.3
|
12 0.09
|
20 0.06
|
28 0.06
|
36 0.09
|
6
|
0.4
|
18 0.12
|
90 0.08
|
42 0.08
|
54 0.12
|
5. Записываем закон
распределения случайной величины в табл. 5.
Таблица 5
|
0
|
6
|
10
|
12
|
14
|
18
|
20
|
28
|
36
|
42
|
54
|
90
|
|
0.1
|
0.06
|
0.04
|
0.09
|
0.04
|
0.18
|
0.06
|
0.06
|
0.09
|
0.08
|
0.12
|
0.08
|
6. Проверяем
достоверность вычислений:
0=1.0+0.06+0.04+0.09+0.04+0.18+0.06+0.06+0.09+0.08+0.12+0.08=1.0
19. Задача 19
Вычислить основные
характеристики вариационного ряда
Таблица 6
|
25
|
29
|
33
|
37
|
41
|
Итого
|
|
16
|
8
|
19
|
10
|
7
|
60
|
Решение
1. Вычисления производим
в табличной форме (табл.7).
Таблица 7
№№
|
|
|
|
|
|
1
|
25
|
16
|
625
|
400
|
10000
|
2
|
29
|
8
|
841
|
232
|
6728
|
3
|
33
|
19
|
1089
|
627
|
20691
|
4
|
37
|
10
|
1369
|
370
|
13690
|
5
|
41
|
7
|
1681
|
287
|
11767
|
Итого
|
|
60
|
6505
|
1916
|
62876
|
Среднее
|
-
|
-
|
93,42
|
31,93
|
1047,93
|
2. По итоговым данным
табл.7, получаем:
- среднюю
производительность труда
3. Вычисляем
характеристики вариации:
- дисперсию
- среднее квадратическое
отклонение
- коэффициент вариации
4. Результаты вычислений
иллюстрирует график рис.3.
Рис. 3. Результаты вычислений
20. Задача 20
Найти линейное уравнение
регрессии с построением эмпирической и теоретической линий регрессии и оценить
тесноту связи для следующих статистических данных
Таблица 8
|
103
|
108
|
102
|
111
|
95
|
109
|
118
|
123
|
|
106
|
103
|
108
|
102
|
111
|
91
|
109
|
118
|
Решение
1. Решение производим в
форме табл. 9 на основании системы нормальными уравнениями метода наименьших
квадратов для линейной двухпараметрической регрессии:
.
Таблица 9
№№
|
|
|
|
|
|
1
|
103
|
106
|
10609
|
11236
|
10918
|
2
|
108
|
103
|
11664
|
10609
|
11124
|
3
|
102
|
108
|
10404
|
11664
|
11016
|
4
|
111
|
102
|
12321
|
10404
|
11322
|
5
|
95
|
111
|
9025
|
12321
|
10545
|
6
|
109
|
91
|
11881
|
8281
|
9919
|
7
|
118
|
109
|
13924
|
11881
|
12862
|
8
|
123
|
118
|
15129
|
13924
|
14514
|
Итого
|
869
|
848
|
94957
|
90320
|
92220
|
Среднее
|
108,63
|
106
|
11870
|
11290
|
11528
|
2. Подставляя итоговые
числа сумм в уравнения метода наименьших квадратов, получаем алгебраическую
систему двух уравнений с двумя неизвестными вида:
Отсюда получаем: ,
а из первого уравнения
3. Записываем
корреляционное уравнение
4. Вычисляем коэффициент
корреляции уравнения, используя итоговые данные табл.9
Линейный коэффициент корреляционного
показывает, что зависимость между параметрами и слабая.
5. Графически результаты
вычислений показаны на рис.4 в виде точек исходной статистической совокупности,
соединенных серой линией и графика регрессионной зависимости (сплошная черная линия).
Рис. 4. Результаты вычислений