Випадкова величина
ТЕМА
ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА
1 Випадкова величина. Функція
розподілу випадкової величини
Зіставимо кожну елементарну подію
конкретного випробування з деяким числом. Наприклад, розглянемо випробування,
що полягає в підкиданні монети. Маємо простір елементарних подій – множину з двох
можливих рівно ймовірних наслідків випробування: w1 – випадання "решки" та w2 – випадання герба. Введемо до
розгляду функцію x= f(w), що визначається за формулами: f(w1)=0, f(w2)=1. Це – числова функція (випадкова
величина), яка залежить від випадку. Позначимо її через :
Для значень, яких у результаті
випробувань може рівно ймовірно набувати функція , застосуємо символи та . Відповідно з нашою угодою, вони дорівнюють
і
У загальному випадку задовільної
випадкової величини позначатимемо її однією з грецьких літер x,h,..., а значення, яких вона
набуває літерами латинської абетки: х, y,..... Відповідність між цими значеннями
та ймовірностями, з якими їх набуває така функція , зручно задати у вигляді табл. 1, що
називається законом розподілу дискретної випадкової величини:
Таблиця 1
У випадку зазначеної конкретної
випадкової величини, пов’язаної з випадінням сторін підкинутої монети, табл. 1
конкретизується у вигляді табл. 2:
Таблиця 2
|
0
|
1
|
|
1/2
|
1/2
|
Цю закономірність можна також наочно
представити на площині xOy, розмістивши на горизонтальній осі значення і , а на вертикальній осі, що доцільно було
перемістити з її традиційного положення – відповідні їм ймовірності (рис. 1).
При цьому графік функції складається
тільки з двох точок (,) і (,). В інших точках горизонтальної осі функція взагалі принципово не
визначена.
Ще більш наочно закон розподілу
дискретної випадкової величини зображається специфічною функцією
що називається функцією розподілу
випадкової величини .
Рисунок 1
У відповідності з її визначенням,
вона дає в точці x ймовірність того, що випадкова величина розташована на осі
Ox зліва від цієї точки x. Зокрема, для випадкової величини, заданої законом
розподілу в табл. 2, ця функція має складний вигляд із різними представленнями
на різних інтервалах
На рис. 2 наведено її графік з двома
неусувними розривами 1-го роду.
Рисунок 2
Розглянемо ще один приклад введення
випадкової величини. Нехай є мішень – круг радіуса а, влучення до якого
гарантовано. Як випадкову величину, що позначимо як , візьмемо відстань від центра мішені до точки
влучення. Ймовірність того, що ця випадкова величина набуває різних значень r від нуля до а, обчислюється за
формулою геометричної ймовірност:
При цьому функція розподілу
графік якої зображено на рис. 3, має
вигляд
Рисунок 3
Модифікуємо попередній приклад: нехай
всередині круга радіуса а, влучення до якого гарантовано, проведено два
концентричні кола (рис. 4) з радіусами a/3 і 2a/ В залежності від відстані точки
влучення від центра мішені стрілець одержує 10, 5 чи 1 бал, відповідно.
Рисунок 4
За випадкову величину, що позначимо
як , візьмемо тепер
кількість очок, набраних при пострілі по мішені. Її можливі значення: 10, 5, 1.
Обчислимо ймовірності випадків прийняття цих значень величиною
,
,
При цьому закон розподілу випадкової
величини має вигляд
табл. 3:
Таблиця 3
|
1
|
5
|
10
|
|
5/9
|
1/3
|
1/9
|
За цим законом розподілу випадкової
величини знаходимо
функцію її розподілу та будуємо її графік (рис. 5).
Рисунок 5
Властивості функції розподілу:
1. F(x) – неубутна функція. Дійсно, якщо
x1<x2 (рис. 6).
F(x2)=P(x<x2)=P(x<x1)+P(x1<x<x2)>P(x<x1)=F(x1);
F(x1)<F(x2);
2. F(+¥)=1; F(-¥)=0; F(+¥)=P(x<¥)=1;
P(-¥<x<¥)=1; F(-¥)=0;
P(a£x<b)=P(x<b) - P(x<a)=Fx(b) - Fx(a).
Якщо функція розподілу в деякій точці
x=а має неусувний розрив 1-го
роду – стрибок на величину р, (рис. 7) то Р(x=а)=р.
Рисунок 7
Дійсно, розглянемо [а, b), b® a+0.
P(x=а)=.
Найбільш важливими типами випадкових
величин є дискретні і неперервні випадкові величини, які будуть розглянуті більш
докладно.
2
Дискретна випадкова величина
Випадкова
величина називається дискретною, якщо її можливі значення можна перенумерувати.
Нехай х1,х2,…,хn
– можливі значення дискретної випадкової величини в порядку зростання.
Випадкові події [x=x1], [x=x2], …[x=xn] утворять повну систему елементарних
подій. При цьому
,
Закон розподілу дискретної
випадкової величини можна задати таблицею (табл. 1) чи геометрично – точками на
площині (xi, pi); або ламаною, що з'єднує ці точки та
називається багатокутником розподілу (рис. 8):
Рисунок 8
Цьому закону розподілу є
відповідною функція розподілу
Fx(x)=P(x<x)=
або
де
Її графік наведено на рис. 9
Рисунок 9
Як видно з рис. 9, функція
розподілу дискретної випадкової величини є кусково неперервною. У точці хi
вона зростає на величину .
При цьому
.
3 Найважливіші закони розподілу
дискретних випадкових величин
Біноміальний розподіл.
Розглядається серія з n випробувань, у кожному з яких подія А відбувається або
не відбувається. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні постійна і не
залежить від результатів інших випробувань. Це схема Бернуллі:
Р(А)=р; .
Як випадкову величину, яку
позначимо , розглянемо
кількість появ події А у n випробуваннях. Не важко перевірити, що ймовірність
появи події визначається
формулою Бернуллі у вигляді
; (1)
де – кількість сполучень з елементів по (1).
Відповідний цїй формулі закон
розподілу випадкової величини називається біноміальним, тому що його
коефіцієнти збігаються з коефіцієнтами членів розкладання бінома Ньютона (p+q)n
(табл. 4).
Таблиця 4
xn
|
0
|
1
|
…
|
k
|
…
|
n
|
pn
|
qn
|
npqn-1
|
…
|
|
…
|
pn
|
Розподіл
Пуассона. Якщо в біноміальному розподілі випадкової величини кількість
випробувань і наслідків
дуже велика,
знаходження ймовірностей за формулою Бернуллі (1) стає обтяжливим у зв’язку з
необхідністю обчислення факторіалів великого порядку. У цьому випадку було
отримано наслідки формули Бернуллі, один з яких полягає у наступному.
Нехай кількість випробувань необмежено зростає, але так, щоб її добуток на
ймовірність появи події A в кожному випробуванні, тобто , залишався скінченою величиною
порядку одиниці. Це передбачає дуже мале значення ймовірності , отже розглядаються дуже рідкі події
та дуже довгі серії випробувань. При формалізації відзначених умов у формулі
Бернуллі (1) можна перейти до границі
або остаточно отримати формулу
Пуассона для ймовірності появи разів дуже рідкої події A у
практично нескінченних випробуваннях
Розподіл випадкової величина за цією формулою
називається законом Пуассона (законом рідкісних подій). Число l називається параметром розподілу. Цей закон можна
подати у вигляді:
Таблиця 5
x
|
0
|
1
|
…
|
k
|
…
|
p
|
e-l
|
le-l
|
…
|
|
…
|
Розглянемо типову задачу, що
приводить до розподілу Пуассона. Нехай подія А означає відмову складного
пристрою протягом малого проміжку часу. Причиною відмови є вихід з ладу
будь-якої деталі. Режим роботи пристрою не змінюється з часом, відмова окремих
деталей відбувається незалежно одна від одної, причому за одиницю часу "в
середньому" відбувається l відмовлень.
При цих допущеннях з великим
ступенем точності виконуються такі умови:
1. Ймовірність появи відмови на
проміжку часу (0, Т) така сама, як і на задовільному проміжку довжиною T
(t,t+T).
2. Появи відмовлень на проміжках
часу, що не перекриваються, незалежні.
Ймовірність появи відмовлення за
нескінченно малий проміжок часу визначається за формулою:
4. Імовірність появи більше однієї
відмови є о(Dt), Dt®0.
Розіб'ємо інтервал (t,t+T) на n рівних
частин .
Розглядатимемо реєстрацію відмови
як окреме випробування
При цьому приходимо до розподілу
Пуассона для кількості відмовлень за час Т
Геометричний закон розподілу.
Проводиться серія випробувань до першої появи події А. Ймовірність появи події
А в кожному випробуванні дорівнює р і не залежить від інших випробувань.
Як випадкову величину розглядатимемо кількість
проведених випробувань, необхідних для першої появи події А. Очевидно, що закон
розподілу цієї випадкової величини можна подати таблицею:
Таблиця 6
x
|
1
|
2
|
3
|
…
|
k
|
P
|
P
|
qp
|
q2p
|
…
|
qk-1p
|