Расчет математического ожидания и дисперсии
1.
Пароль для входа в компьютерную базу данных состоит из 7 цифр. Какова
вероятность правильного набора пароля с первого раза, если: д) на нечетных
местах комбинации стоят одинаковые цифры
Решение:
P(A)
=
n
– общее число исходов.
Допустим
на нечетных местах стоит 0_0_0_0_0
На
трех других местах может быть: n0= комбинаций ( 10 цифр,
3 места), если на нечетных местах стоит 1, и т.д.
n=
n0+n2+…+n0=10∙=
m=
число благоприятных исходов
m=0
P(A)
= =0,0001
Ответ:
0,0001
2.
Девять карточек, пронумерованных цифрами от 1 до 9, расположены друг за другом
в случайном порядке. Определить вероятности следующих событий: Г) каждая из
последних 4 карточек имеет номер больше 3
Будем
использовать классическое определение вероятности:
,
где
m – число исходов, благоприятствующих
осуществлению события , а n
– число всех элементарных равновозможных исходов.
Сразу
вычислим, что - число различных способов
разложить карточки.
Найдем число исходов, благоприятствующих этому
событию. Номер больше трех имеют карточки: 4,5,6,7,8,9, всего 6 карточек.
Выбираем на последнее место карточку 6 способами (любую из этих шести), на
предпоследнее место карточку 5 способами (любую из оставшихся пяти, одна уже
выбрана), на третье с конца место карточку 4 способами, на четвертое с конца
место карточку 3 способами. Получили всего способов
разложить последние 4 карточки так, чтобы их номер был больше 3. Теперь
раскладываем оставшиеся 5 карточек 5!=120 способами. Итого получаем
120*360=43200 способов.
Тогда вероятность .
Ответ:
0,119
3.
Отрезок AB разделен точкой C в отношении 3:7. На этот отрезок наудачу бросается
5 точек. Найти наивероятнейшее число точек, попавших на отрезок AC и
вероятность именно такого числа точек на отрезке AC
Вероятность
попасть на АС для одной точки Р== 0,3
1)-наивероятнейшее число
точек, попавших на АС
np
–q ≤<
np +p
p=
0,3;
q=1-p=0,7
5∙
0,3-0,7 ≤ < 5∙ 0,3+ 0,3
0,8
≤ < 1,8
=1
2)
Вероятность именно такого числа точек на АС
(1)=?
Применим
формулу Бернулли.
(K)
= . . ;
(1)= . . = ∙0,3
∙= 5 ∙ 0,3∙ = 0,36
Ответ:
0,36
4.
Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказа
первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2, 01 и 0,6. Найти
вероятность того, что не отказал первый элемент, если известно, что отказали
какие-то два элемента
Решение.
=0,2 =0,1 =0,6 - отказ.
= 1- =0,8 =0,4- не отказ.
Событие
А- отказали какие-то два
- первый
отказал Р()=0,2=
(А)=+ 0,2∙0,1∙0,4+
0,2∙0,9∙0,6=0,116
-первый не отказал Р=0,8=
По
формуле полной вероятности
P(A)=0,2∙0,116+0,8∙0,048=0,0616
Искомую
вероятность найдем по формуле Байеса:
()= =
Ответ:
0,62
5.
Бросаются две игральные кости. Найти для произведения очков на выпавших гранях:
математическое ожидание; дисперсию
Решение.
Введем независимые случайные величины и равные, соответственно, числу очков,
выпавших на первой и на второй кости. Они имеют одинаковые распределения:
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
1/6
|
1/6
|
1/6
|
1/6
|
1/6
|
Найдем
математическое ожидание
.
Найдем
дисперсию
.
Тогда
математическое ожидание суммы числа очков,
которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей равно
.
Дисперсия
суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных
костей равна (так как бросания костей независимы):
.
Ответ:
7; 35/6.
6.
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально
распределенной случайной величины Х соответственно равны 30 и 4. Найти
вероятность того, что Х в 5 испытаниях ровно 3 раза примет значение, заключенное
в интервале (29, 31)
Решение.
Используем формулу
,
где
математическое ожидание, среднее
квадратическое отклонение α=29,
β=31.
P(29<х<31)=Ф(=Ф(0,25)-(0,25)= Ф(0,25)+Ф(0,25)
= 2∙Ф(0,25) = 2∙0,3413∙0,25 = 0,17065 Ответ: 0,17065
7.
В порядке серийной выборки из 1000 контейнеров бесповторным отбором взято 10
контейнеров. Каждый контейнер содержит равное количество однотипных изделий,
полученных высокоточным производством. Межсерийная дисперсия проверяемого
параметра изделия равна 0,01. Найти: границы, в которых с вероятностью 0,99
заключено среднее значение проверяемого параметра во всей партии, если отобрано
50 контейнеров, а общая средняя равна 5
При
беспроводном отборе применяется формула:
n=
N=1000
n==5
p=0,99
≈0,98
Подставим:
5=
5000+0,049=98
0,049=98
Т.к.
х=5, то интервал 50,14