так що (5) рівносильне (2). Нарешті, мабуть, що (2) рівносильне
(1).
Визначення 12Знакозмінний простір називається регулярним, якщо воно задовольняє
одному з п'яти рівносильних умов . Знакозмінний простір називається виродженим,
якщо воно не є регулярним. Нарешті, воно називається цілком виродженим, якщо .
Якщо , то регулярно. Якщо , то через і
Пропозиція.13 Нехай - уявлення знакозмінних просторів. Якщо регулярно, то - ізометрія.
Доказ. Візьмемо з ядра уявлення . Тоді . Звідси через регулярність простору одержуємо, що .
Пропозиція 14Кожній базі регулярного знакозмінного простору відповідає єдина база
цього простору,
називана сполученої до відносно й така, що для всіх , . Якщо в и в , то .
Доказ.1) Покладемо для , де - сполучена до база сполученого простору . Тоді - база, тому що біективно. Крім того, . Цим доведене існування бази
. Одиничність безпосередньо
треба з регулярності. 2) Нехай . Тоді й Звідси
, так що й .
Розглянемо знакозмінний простір зі знакозмінною формою . Будемо говорити, що
має ортогональне
розкладання на підпростори якщо воно є прямою сумою з попарно ортогональними , тобто при . Назвемо компонентами цього ортогонального
розкладання. Будемо говорити, що підпростір розщеплює або що є компонентом простору , якщо існує підпростір простору , таке, що . Маємо де добуток
береться в.
Важливим є випадок, коли , для всіх і для всіх ; тоді
Якщо дано ще одне таке уявлення , то
Розглянемо знакозмінний простір над полем . Під ортогональним доповненням
підпростору простору
в розуміється підпростір
співпадаюче також з
Визначимо радикал простору як підпростір . Очевидно,
Пропозиція15 Нехай - знакозмінний простір, що є сумою попарно ортогональних
підпросторів, тобто , де при . Тоді
,
регулярно кожне регулярно,
регулярно .
Доказ. (1) Візьмемо в довільний елемент і запишемо його у вигляді , . Тоді
так що , звідки . Обернено, якщо , де , те звідки . (2)
Це треба з (1) і того, що знакозмінний простір регулярний тоді й тільки тоді, коли
його радикал дорівнює . (3)
Якщо , , те звідки
. Отже, і, виходить, .
Пропозиція 16 Якщо - підпростір знакозмінного простору , те - анулятор простору в , тобто . Зокрема, .
Доказ безпосередньо треба з визначень.
Пропозиція 17 Нехай - регулярний підпростір знакозмінного простору
. Тоді розщеплює , точніше, . Якщо - інше розщеплення,
.
Доказ. Тому що регулярно, те . Отже, через
Тому й, виходить, . Далі, якщо , те, звідки . Порівнюючи розмірності, одержуємо .
Пропозиція 18 Якщо й - довільні підпростори регулярного знакозмінного
простору розмірності
, те
,
,
,
,
.
Доказ. Тому що регулярно, те через відображення біективно. Отже, , звідки через . Цим
доведено (1). Далі, , тому порівняння дає . Цим доведено (2). Доведемо тепер (3):
Аналогічно доводиться (4). Нарешті, твердження (5) тривіально.
Розглянемо радикал знакозмінного простору , і нехай - підпростір простору , таке, що . Назвемо всяке таке розкладання
радикальним розкладанням простору . Очевидно, визначається не єдиним образом, за винятком випадків,
коли регулярно
або цілком вироджене.
Зі співвідношень
треба рівність , тому регулярно.
Теорема 19 Якщо - регулярний знакозмінний простір розмірності , те
Зокрема, регулярний знакозмінний простір має парну розмірність
і дискримінант .
Крім того, регулярні знакозмінні простори однакової розмірності над тим самим полем
ізометричні.
Доказ. Через регулярність простору існують вектори й , що задовольняють умові . Тому що , те ці вектори повинні
бути незалежними; тому - площина. Очевидно,
Зокрема, регулярно, тому що дискримінант відмінний від нуля.
Отже, через . Але - також регулярний знакозмінний простір. Перше
твердження треба тепер з міркувань індукції. Друге тривіально треба з першого. Для
доказу третього твердження застосовуємо . Теорема доведена.
База регулярного знакозмінного простору називається гіперболічної,
якщо
і сімплектичною, якщо
Якщо
гіперболічна база простору , то перестановка
симплектична база, і навпаки. По теоремі ненульовий регулярний знакозмінний простір має гіперболічну базу, а тому
й симплектичну базу.
Пропозиція 20 Нехай - регулярний знакозмінний простір, - цілком вироджений
підпростір і -
база підпростору . Тоді існує регулярний підпростір простору виду , де - регулярні площини й , .
Доказ. Випадок очевидний. При застосовуємо індукцію по . Покладемо й . Тоді , звідки через . Виберемо й покладемо . Тоді , , і, отже, . Виходить, - регулярна площина, що містить . У силу можна записати . Тоді , тому що й отже, . Залишається застосувати припущення індукції до
розглянутого як
підпростір знакозмінного простору .
Пропозиція 21 Якщо - максимальне цілком вироджений підпростір регулярного
знакозмінного простору , те . Доказ.
Тому що цілком
вироджене, те,
тому через , звідки .
Якщо допустити, що , то нескладне застосування тверджень і дасть цілком вироджений підпростір, що строго містить
у протиріччя з
максимальністю .
Тому .
Пропозиція.22 Якщо й - максимальні цілком вироджені підпростору регулярного
знакозмінного простору , що задовольняють умові , то для кожної бази простору М існує така
база простору
, що - симплектична база
простору .
Доказ. Зрозуміло, (через ). Нехай , - база підпростору . Тоді - база простору .
Нехай - сполучена до неї база відносно (див. ). Оскільки , те елементи лежать в. Виходить, - база простору , а симплектична база в.
Пропозиція 23 Нехай - регулярний знакозмінний простір і його
симплектична база.
Нехай - максимальне цілком вироджений простір . Тоді матричний ізоморфізм,
асоційований з ,
відображає групу лінійних перетворень на групу матриць виду
де - оборотна - матриця, а - матриця задовольняє співвідношенню .
Доказ. Це легко перевіряється належним застосуванням твердження
.
Теорема Витта 24 Нехай і - ізометричні регулярні знакозмінні простори над
тим самим полем .
Якщо - довільний
підпростір простору й - ізометрія в , то її можна продовжити до ізометрії простору на .
Доказ. Візьмемо радикальне розкладання , і нехай - база підпростору (мається на увазі,
що , якщо ). Застосовуючи до регулярного знакозмінного простору , ми бачимо, що в ньому існує підпростір виду е - регулярні площини
й , . Тому що регулярно, те воно
розщеплює ; отже,
існує регулярний підпростір простору , таке, що
Покладемо , і для . Тоді Крім того, радикальне
розкладання. Ми можемо повторити попередні міркування й одержати розкладання у якомуде - регулярна площина й для . За допомогою знайдемо ізометрію простору на , погоджену з на кожному , а отже, на . Крім того, дане відображає на . Виходить, існує продовження ізометрії до ізометрії простору
на .
Далі , тому що ізометричне , тому й, отже, по теоремі існує ізометрія простору на . Таким чином, існує продовження ізометрії до ізометрії простору
на .
5. Проективні перетворення
Геометричне перетворення абстрактного векторного простору на абстрактний векторний
простір - це біекція
з наступною властивістю:
підмножина простору
тоді й тільки
тоді є підпростором в , коли - підпростір в.
Очевидно, що композиція геометричних перетворень - геометричне
перетворення й перетворення, зворотне до геометричного, - також геометричне. Геометричне
перетворення зберігає включення, об'єднання й перетинання підпросторів, а також
ряди Жордана - і Гельдера, що тому справедливо випливає пропозиція.
Під проективним простором простору ми будемо розуміти множину всіх підпросторів
простору . Таким
чином, складається
з елементів множини , що є підпросторами в ; . Будь-які два елементи й з мають об'єднання й перетинання, а саме й , так що - ґрати; вона має найбільший
елемент і найменший
елемент . Кожному
елементу простору
зіставляється
число . Кожне з володіє поруч Жордана - Гельдера
, і всі такі ряди
мають довжину .
Покладемо
і назвемо , , множинами прямих, площин і гіперплощин простору
відповідно.
Проективність простору на - це біекция з наступною властивістю: для будь-яких , із включення має місце тоді й тільки тоді, коли .
Очевидно, що композиція проективностей - проективність
і відображення, зворотне до проективності, - також проективність. Проективність
простору на зберігає порядок, об'єднання,
перетинання й ряди Жордана - Гельдера для елементів просторів і , що тому справедливо випливає пропозиція.
Пропозиція 26 Якщо - проективність простору на , те для будь-яких елементів , з виконуються співвідношення
Зокрема, відображає на й визначається своїми значеннями на , тобто на прямих.
Якщо - геометричне перетворення, то відображення , отримане зі звуженням, є проективністю
простору на . Усяка проективність
, що має вид для деякого такого
, буде називатися
проективним геометричним перетворенням простору на . Чортові ми будемо завжди використовувати для позначення
проективного геометричного перетворення , отриманого описаним способом з геометричного перетворення
. Таким чином,
переводить підпростір
простору , тобто крапку з , у підпростір простору . Маємо
Зокрема, композиція проективних геометричних перетворень
і перетворення, зворотне до проективного геометричного, самі є проективними геометричними.
Геометричне перетворення простору є по визначенню геометричне
перетворення простору на себе. Множина геометричних перетворень простору
є підгрупою групи
підстановок множини . Вона буде позначатися через і називатися загальною геометричною
групою простору .
Під групою геометричних перетворень простору ми будемо розуміти довільну підгрупу групи . Загальна лінійна група
й спеціальна лінійна
група є, отже,
групами геометричних перетворень. Під групою лінійних перетворень будемо розуміти
будь-яку підгрупу групи .
Проективність простору є по визначенню проективність цього простору
на себе. Множина проективностей простору - підгрупа групи підстановок множини , що ми будемо називати
загальною групою проективностей простору . Застосування риси індуцирує гомоморфізм
Іноді ми будемо використовувати замість , думаючи для образа
підмножини із при . Зокрема, і - підгрупи групи проективностей простору , вони називаються проективною
загальною лінійною групою й проективною спеціальною лінійною групою простору .
Було доведено, що збігається із групою всіх проективностей простору
, тому ми використовуємо
це позначення для обох груп. Під групою проективностей простору будемо розуміти будь-яку підгрупу
групи , а під проективною
групою лінійних перетворень простору - будь-яку підгрупу групи .
Для кожного ненульового елемента з визначимо лінійне перетворення , думаючи Ясно, що . Перетворення з виду для якогось будемо називати розтяганням простору .
Множина розтягань простору є нормальною підгрупою групи , що буде позначатися
через . Очевидно,
має місце ізоморфізм . Мають місце наступні дві пропозиції.
Пропозиція 27 Елемент групи тоді й тільки тоді належить групі , коли для всіх прямих з . Зокрема,
Пропозиція. 28 Централізатор у будь-якого елемента з , що не є розтяганням, абелев.
Нехай тепер - регулярний знакозмінний простір. Тоді буде, звичайно, групою
геометричних перетворень простору . Під групою симплектичних перетворень знакозмінного
простору ми будемо
розуміти довільну підгрупу з . Група , одержувана із застосуванням гомоморфізму , називається проективної
симплектичною групою знакозмінного простору . Під проективною групою симплектичних перетворень
простору будемо
розуміти будь-яку підгрупу групи .
Пропозиція 29 Якщо - ненульовий регулярний знакозмінний простір, те
Доказ є легкою вправою й тому опускається.
Пропозиція 30 Якщо - регулярний знакозмінний простір і , те .
Доказ. Взявши симплектичну базу простору , за допомогою без праці переконуємося, що елемент із тоді й тільки тоді лежить в , коли .
Полярністю абстрактного векторного простору над полем називається біекция
, , така, що 1) , 2) для всіх , з . Якщо - регулярний знакозмінний простір над , те, мабуть, - полярність; вона
називається полярністю, певною знакозмінною формою , наявної на .
Пропозиція 31 Нехай - абстрактний векторний простір над полем і . Припустимо, що - регулярний знакозмінний
простір щодо кожної із двох знакозмінних форм і . Форми й тоді й тільки тоді визначають ту саму полярність,
коли найдеться такий ненульовий елемент із , що .
Доказ. Якщо , то твердження очевидно. Залишається довести зворотне
твердження. Тому що регулярно відносно й , те через і асоційовані лінійні відображення й біективні, тобто й . З і припущення про те, що й визначають ту саму полярність, треба, що для всіх підпросторів
з . Отже, - елемент групи , щодо якого інваріантні
всі підпростори з , Зокрема, щодо нього інваріантні всі прямі з . Виходить, через . Інакше
кажучи, найдеться такий ненульовий елемент із , що для всіх з . Але тоді для всіх з . Тому .
Пропозиція 32 Якщо поле нескінченно, те групи , над також нескінченні.
Доказ. Число трансвекцій з нескінченно.
Теорема 33 Порядок групи дорівнює
Порядок групи дорівнює
Доказ. Друге твердження треба з першого, тому що група
ізоморфна групі
. Доведемо перше
твердження індукцією по . Якщо , то й можна вважати .
Під парою будемо розуміти впорядковану пару векторів , , таку, що . Якщо фіксовано, то існує єдина пара
, де належить даній прямій,
не ортогональної к. Тому число пар з на першому місці дорівнює числу прямих,
що не лежать в ,
тобто
Таким чином, є пара з на першому місці, а всього пара.
Зафіксуємо яку-небудь пару . По теоремі Витта для кожної пари найдеться принаймні
один елемент групи , що переводить в. Отже, є точно
елементів з , що переводять пари в парі . По припущенню індукції це число дорівнює
Далі, кожний елемент групи переводить точно в одну пару. Отже, група містить
елементів, що й було потрібно довести.
Пропозиція 34Якщо , те число максимальних цілком вырожденных підпросторів
простору дорівнює
Доказ.1) Покажемо спочатку, що підгрупа групи , що залишає на місці
довільне максимальне цілком вироджений підпростір простору , має порядок
Щоб переконатися в цьому, зафіксуємо симплектичну базу
простору , у якій вектори породжують . Із треба, що матриця довільного перетворення має вигляд
де , а - симетрична матриця порядку над ; ці й визначаються перетворенням однозначно. Крім того, будь-які
такі й відповідають якомусь
із . Наше твердження виходить
тепер, якщо помножити порядок групи на число симетричних матриць порядку над полем , тобто .
2) Зафіксуємо максимальне цілком вироджений підпростір
простору . По теоремі Витта всі
максимальні цілком выроджені підпростору простору даються формулою , де пробігає групу . Із зауваження 1) легко треба,
що в цьому процесі кожне максимальне цілком вироджений підпростір повторюється точно
раз, тому загальне число таких підпросторів дорівнює порядку
групи , діленому
на зазначену величину. Очевидно, це і є необхідне число.
Пропозиція 35 Якщо , те число регулярних площин у просторі дорівнює
Доказ. Надходячи, як при доказі твердження , переконаємося, що повинне містити
регулярних площин. Це число збігається із зазначеним вище
(застосувати теорему ).
Пропозиція 36 Група ізоморфна симетричній групі .
Доказ. Будемо називати конфігурацією довільна підмножина
з елементів в - мірному регулярному
знакозмінному просторі над полем , що володіє тим властивістю, що будь-які два його
різних елементи не ортогональні. Кожний ненульовий вектор з належить рівно двом конфігураціям і , так що вони перетинаються по
. Щоб переконатися
в цьому, візьмемо симплектическую базу простору , у якій . Ясно, що
і
дві різні конфігурації, що перетинаються по множині . Легка перевірка перебором
показує, що інших конфігурацій, що містять елемент , немає. Якщо тепер виписати всі різні
конфігурації в
просторі , то кожний
вектор із з'явиться точно у двох
з них, звідки й
. Нехай - Множина всіх конфігурацій
в.
Якщо - довільний елемент із , то тоді й тільки тоді є конфігурацією, коли
- конфігурація,
тому індуцирує
відображення .
Ясно, що це відображення на й, виходить, перестановка на . Очевидно, що є гомоморфне відображення
. Щоб знайти його
ядро, візьмемо в елемент . Нехай такий, що . Нехай і - дві конфігурації, що містять . Тоді не належить однієї з них, скажемо,
. Звідси й . Інакше кажучи, ядро тривіально,
і ми маємо інективный гомоморфізм . По теоремі група складається
з елементів, тому
.
Помітимо, що група неабелева. Щоб переконатися в цьому, досить взяти
нетривіальні проективні трансвекції із із прямими. Отже, група також неабелева.
Пропозиція 37 Група має тривіальний центр, а .
Доказ. Розглянемо довільний елемент із центра групи . Нехай - довільна пряма з
. Нехай - проективна трансвекція
із із прямій . Тоді прямій перетворення
є . Але , тому що лежить у центрі. Отже,
для всіх . Тому й, виходить, група
дійсно не має
центра. Друге твердження треба з першого, якщо застосувати гомоморфізм .
Пропозиція 38 Якщо , - довільні прямі з , та множина трансвекцій із із прямої й множину трансвекцій
з прямій сполучені
відносно .
Доказ. По теоремі Витта в групі існує такий елемент , що . Тоді сполучення елементом відображає множина
трансвекцій із із
прямій на множину
трансвекцій із із
прямій .
Приклад 39 Дві трансвекції з не обов'язково сполучені в. Наприклад, трансвекції
з прямій , сполучені
з , мають вигляд
, де пробігає .
Зауваження 40 Нехай - симплектическая база простору . Якщо - довільна симетрична матриця
порядку 2 над і - лінійне перетворення, певне
матрицею те ми знаємо, що належить групі . Якщо перетворити в , роблячи 1) додаток кратного одного стовпця
до іншого з наступним аналогічним перетворенням відповідних рядків або 2) перестановку
двох стовпців з наступною перестановкою відповідних рядків, то лінійне перетворення
з матрицею знову буде належати групі , тому що теж буде симетричною. У дійсності
й сполучені в. Щоб переконатися в
цьому, помітимо, що при підходящій матриці з . Перетворення , певне матрицею належить групі , і , тому що .
Пропозицію 41 Припустимо, що , , і нехай - нормальна підгрупа групи , що містить регулярний елемент
із відрахуванням
, у вигляді добутку
двох трансвекцій з . Тоді .
Доказ. Маємо розкладання , де - регулярна площина. Розглянемо групу
Тоді . Крім того, . Це очевидно, якщо ; якщо ж , те застосовуємо 2.1.12 і теорему 2.1.11
. Тому - нормальна підгрупа в , що не втримується в. Звідси треба, що . Зокрема, якщо - фіксована пряма в
, те містить всі трансвекції
площини з прямій
. Отже, містить всі трансвекції
із із прямій , а тому в силу взагалі всі трансвекції з і .
Пропозицію 42 Припустимо, що , або , , і нехай - нормальна підгрупа групи , що містить елемент із відрахуванням 2,
у вигляді добутку двох трансвекцій з . Тоді .
Доказ.1) Модифікація міркувань, використаних при доказі
твердження , дозволяє вважати, що , якщо , і , якщо .
2) Розглянемо спочатку випадок , . Тоді має вигляд , причому , а зірочки рівні . Далі ці трансвекції перестановочні,
тому що , тому
ми можемо, якщо потрібно, замінити на й уважати, що насправді . Можна вважати, що ця нова є . Справді, якщо , те за допомогою теореми
Витта виберемо таке , що , . Тоді .
Замінимо тепер на . Отже, можна вважати, що . Доповнимо до симплектичної бази
простору й помітимо, що
Підходящим сполученням ми можемо знайти в лінійні перетворення
з матрицями
у базі . Добуток цих перетворень дорівнює елементу із із матрицею
Отже, група містить . Таким чином, вона містить всі (= обидві) трансвекції
із із прямій . Через звідси треба, що містить всі трансвекції з і, виходить, .
3) Нехай тепер , . Тоді й . Доповнимо до симплектичної бази Тоді
Сполучення дає нам у лінійні перетворення з матрицями
а тому й з матрицями
а виходить, і з матрицею
Інакше кажучи, містить і, отже, всі трансвекції з , звідки . Пропозиція 43 Якщо , те за одним виключенням: . Доказ. Нехай , для якогось . По теоремі Витта існує таке , що - площина й
Покладемо
Залишилося застосувати й . У винятковому випадку застосовуємо й добре відомі властивості групи .
Пропозиція 44 Якщо , те за одним виключенням: .
Теорема 45 Для будь-якого парного числа й кожного поля група проста за винятком
групи , що простій
не є.
Доказ.1) Виняткове поводження групи треба з . Будемо припускати тому, що в загальному випадку й при . Замість проективної групи ми будемо
мати справу із групою . Досить розглянути нормальну підгрупу групи , що не втримується
в підгрупі , і
довести, що .
2) Спочатку покажемо, що є , , такі, що - регулярна площина. Для цього візьмемо в групі
елемент. зрушує принаймні одну пряму
з , тобто існує
така пряма з , що . Нехай - нетривіальна трансвекция із
із прямій . Тоді елемент належить групі і є добутком двох трансвекцій
із із різними
прямими й . Тому простір перетворення
є площина , зокрема, . Якщо - гіперболічне перетворення,
то - інволюція.
Застосуємо тепер твердження 1.18, якщо характеристика дорівнює , і твердження 1.13, якщо характеристика
не дорівнює . Тоді,
зокрема, ми одержимо, що не є добутком трансвекції з , що суперечить допущенню. Отже,
не може бути гіперболічним.
Виходить, існує такий вектор , що , тобто - регулярна площина.
3) Можна також показати, що є вектор і перетворення , такі, що - вироджена площина.
Справді, візьмемо в елемент . Існує такий вектор , що .
Якщо , то ціль досягнута, тому будемо вважати, що .
Виберемо так, щоб було
По теоремі Витта в найдеться перетворення , таке, що , . Тоді перетворення належить і переводить в , тому - вироджена площина.
4) Візьмемо , так, щоб площина була регулярної при й виродженій при . Тоді перетворення
належить групі , є добутком двох трансвекцій з і його простір є площина . Тому .
Пропозиція 46 Якщо й - нормальна підгрупа групи , те або , за винятком групи , що, мабуть, не має цю властивість.
Доказ. Із приводу виключення див. . Далі, застосовуючи до теорему , одержимо, що або . Допустимо останнє. Тоді
Пропозиція доведена.
Теорему про простоту можна також довести, використовуючи
групи підстановок. Нагадаємо, що групою підстановок непустої множини називається підгрупа
групи всіх підстановок
множини . Далі,
називається транзитивної,
якщо для будь-яких , існує така підстановка з , що . Нагадаємо, що розбивкою множини називається множина
попарно непересічних
підмножин, об'єднання яких дорівнює . Тривіальними називаються дві розбивки, що складаються
відповідно із самого й із всіх одноелементних підмножин. Транзитивна
група підстановок
множини , якщо
існує така нетривіальна розбивка множини , що для всіх , . У противному випадку група називається примітивної.
Наступний результат є тут ключовим.
Пропозиція 47 Примітивна група підстановок множини проста, якщо виконані наступні
умови:
1) ,
2) для якогось стабілізатор містить таку нормальну абелеву підгрупу , що породжується підгрупами , .
Для доказу теореми з використанням цього результату розглянемо як групу підстановок множини прямі простори . Це можливо через те,
що , будучи підгрупою
групи проективностей простору , точно діє на й, виходить, природно ізоморфна групі підстановок
множини . Ми знаємо,
що група транзитивна
(теорема Витта), (див. ) і, нарешті, множина
проективних трансвекцій із із прямій разом з тотожним перетворенням утворить нормальну
абелеву підгрупу стабілізатора прямій в , що разом зі своїми сполученими в породжує групу . Тому все, що залишилося
зробити, перш ніж послатися на , - це перевірити, що група
примітивна.
Пропозиція 48 При група підстановок множини прямі простори примітивна.
Доказ.1) Розглянемо розбивку множини , що містить принаймні дві підмножини,
одне із яких, скажемо , містить не менш двох прямих. Нам потрібно знайти
елемент групи ,
що не зберігає цю розбивку. Допустимо, що такого елемента не існує.
2) Нехай спочатку містить дві різні не ортогональні прямі , . Тоді кожні дві різні прямі
, з повинні бути не ортогональні.
Справді, якщо це не так, то найдуться різні , з , такі, що . Візьмемо пряму з , не приналежній підмножині . Якщо , то по теоремі Витта існує таке
перетворення з
, що , , і, отже, воно порушує розбивку.
Якщо , то знову
по теоремі Витта є таке , що , і, виходить, знову порушує розбивка. Отже, ніякі дві різні прямі
з не є ортогональними.
Тільки що проведені міркування показують, що якщо - довільна пряма з , те містить всі прямі з , не ортогональні к. Тепер очевидно, що
можна знайти в пряму
, не ортогональну
до , але ортогональну
до тоді перша
умова спричиняє, що , а друге - що , - протиріччя.
3) Ми можемо, таким чином, уважати, що всі прямі з попарно ортогональні.
Міркування, використані в п.2), показують тоді, що якщо - довільна пряма з , те містить всі прямі, ортогональні до , а це неможливо. Пропозиція
доведена.
Нехай - кінцева група, і - підгрупи групи . Будемо говорити, що група допускає факторізацію
, якщо для всякого
має місце рівність
, де , . Факторізація називається максимальної,
якщо й максимальні підгрупи
в групі . Ми розглянемо
максимальні факторізації симплектичної групи , певної над кінцевим полем .
Нехай і - цілі числа, , . Якщо - просте число, що ділить і не ділить числа для , то називають примітивним простим дільником
числа .
Добре відомо, що при , і завжди є примітивний простий дільник числа . Нехай , де - просте число, - ціле позитивне число.
Позначимо найбільший
примітивний простий дільник числа (так, що ділить і не ділить для ). Визначимо як добуток всіх примітивних простих дільників . Ми будемо розглядати
максимальні факторізації групи . Відзначимо, що
Теорема. 49Нехай , де - непарне число. Якщо , де й - максимальні підгрупи групи , тоді , де - максимальна параболічна підгрупа
групи , ізоморфна
й, яка має порядок
Доказ. Припустимо, що ділить . Із треба, що є однієї з наступних груп , , або . Нехай спочатку . У цьому випадку . Із треба, що це в точності максимальна параболічна підгрупа
групи й . З порівняння порядків групи
й добутки одержуємо наступну
максимальну факторізацію:
Нехай тепер є однієї з наступних груп , або . Із сказаного вище випливає, що не ізоморфно . З пункту 2.4 одержимо, що є або . По теоремі 2.4D є 3 або
7. Якщо , тоді
5 ділить . У цьому
випадку із треба, що одна із груп , , . Оскільки , те ділить . Однак не ділиться на . Протиріччя з тим, що . Отже, і . Тому що 27 ділить, то є параболічною підгрупою групи й має місце факторизация:
Теорема доведена.
Нехай , де - позитивне число. Тоді ортогональна група й . позначає сплетення групи із групою , тобто , де . Очевидно, що ; - максимальна параболічна підгрупа
в порядку ; - група Судзуки порядку , де .
Лема 50 Нехай . Тоді
Доказ. Із треба, що є максимальною підгрупою
в. Нехай і . Позначимо
де матриця в канонічному базисі симплектичного простору
, , , .
Тоді - група, що фіксує розкладання:
Із треба, що стабілізатор цього
розкладання ,
і .
Лема доведена.
У наведених позначеннях з урахуванням таблиці 1 і леми одержимо:
Теорема 51 Нехай , де . Якщо , де й - максимальні підгрупи в групі . Тоді
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5) .
У дипломній роботі знайдені максимальні факторізації симплектичних
груп . Доведено
наступні теореми.
Теорема 1. Нехай , де - непарне число. Якщо , де й - максимальні підгрупи групи , тоді , де - максимальна параболічна підгрупа
групи , ізоморфна
й має порядок
Теорема 2. Нехай , де . Якщо , де й - максимальні підгрупи в групі . Тоді
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5) .
1.
Монахов В.С. Введення в теорію кінцевих груп і їхніх класів. - К., 2004
2.
Каргаполов М.І., Мерзляків Ю.И., Основи теорії груп. - К., 2004
3.
Хол Ф., Теорія груп. - К., 2003
4.
Горенстейн Д., Кінцеві прості групи: введення в їхню класифікацію., - К.,
2003
5.
Казарін Л.С., Факторізації кінцевих груп розв'язними підгрупами // Укр. мат.
журн. 1991. Т.43, N 7 - і 8. С.947 - і 950.
6.
Mitchel H.H., Determination of the finite quaternary linear
groups. Trans. Amer. Math. Soc. V.14, 1913. p.123--142.
7.
Liebek M.W., Praeqer C.E., Saxl J., The maximal factorizations
of the finite simple groups and their automorphism groups. Mem. Amer. Math.
Soc. V.86, N.432. p.1--151.
8.
Suzuki M., A new type of simple groups of finite
order. Proc. Nat. Acad. Sci. US 46, 1960. p.868--870.