Коллинеарность и компланарность векторов. Канонические уравнения прямой
Федеральное
агентство по образованию
Государственное образовательное
учреждение
высшего профессионального
образования
"ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ"
Кафедра: Функциональный анализ и
его приложения
Самостоятельная работа по
математике
Владимир 2009
Задача 1. Коллинеарность векторов
а = { 2; -1; 6 } в =
{ -1; 3; 8 }
c1=5a – 2b = {5*2 – 2*(-1); 5*(-1) – 2*3; 5*6-2*8
} = {12; -11; 14 }
с2=2а – 5в = {2*2
– 5*(-1); 2*(-1) – 5*3; 2*6-5*8 } = {9; -17; -28 }
≠ ≠-
12/9 ≠ 11/17 ≠
-14/28
Ответ: не коллинеарны.
Задача 2. Косинус угла
между векторами АВ и АС
А (3; 3; -1 ) B (5; 1; -2 ) C (4; 1; -3 )
= {2; -2; -1 } || = =
= {1; -2; -2 } || = =
cos (ˆ) = =
Задача 3. Площадь
параллелограмма построенного на векторах а и в.
S=|5p - q|*|p + q|=|5p*p + 5p*q - q*p - q*q|=|5p*q + p*q| =6*|p*q|=6|p|*|q|*sin(pˆq)=
=6*5*3*sin5
sin5= 90*=45
Задача 4. Компланарность
векторов а, в, с.
а = { 1; -1; 4 } в = { 1;
0; 3 } с = { 1; -3; 8 }
1*(0*8 - 3*(-3)) -
(-1)*(1*8 - 1*3)+4(1*(-3) - 1*0)=9 + 5 - 12=2
2≠0 - не
компланарны.
Задача 5. Объем тетраэдра
с вершинами в точках А1 А2 А3 А4 и
его высоту, опущенную из вершины А4на грань А1 А2
А3.
А1 = { 0; -3;
1 } А2 = { -4; 1; 2 } А3 = { 2; -1; 5 } А4 = {
3; 1; -4 }
=
{ -4; 4; 1 }
=
{ 2; 2; 4 }
=
{ 3; 4; -5 }
= * |(-4)*(2*(-5) - 4*4) - 4*(2*(-5) - 3*4)
+ 1*(2*4 - 3*2)=
=|40 + 64 + 40 + 48 + 8 - 6|=194=32,33
= |i*(4*4 - 1*2) - j*((-4)*4 - 2*1)+k*((-4)*2
- 2*4)= |14i + 18j - 16k|=
=√142+182-162=√264=*16,25=8,125
h==11,94
.
М1 (1; 2; 0 ) М2
(3; 0; -3 ) М3 (5; 2; 6 ) М0 (-13; -8; 16 )
(х-1) * ((-2)*6 - 0*(-3))
- (у-2)*(2*6 - 4*(-3)) + (z - 0)*(2*0 - 4*(-2))=0
(-12)*(х - 1) - 24*(у - 2)
+ 8*(z - 0) = 0
(-3)*(х - 1) - 6*(у - 2) +
2*(z - 0)=0
-3х - 6у + 2Z + 15 = 0
d==
Задача 7. Уравнение
плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору .
А (-3; -1; 7 ) B (0; 2; -6 ) C (2; 3; -5 )
={2;
1; 1}
2*(х + 3) + 1*(у + 1) + 1*(z - 7)=0
2х + у + z = 0
Задача 8. Угол между
плоскостями
2у + z - 9=0
х - у + 2z - 1=0
п1={0; 2; 1 }
п2={1; -1; 2 }
cosφ===90
Задача 9. Координаты
точки А, равноудаленной от точек В и С.
АВ===
АС===
=
=х2
- 4х+29
х2 - х2 -
8х + 4х=29 – 45
-4х=-16
х=4
А (4; 0; 0 )
Задача 10. Канонические
уравнения прямой
х - 3у + z + 2 = 0
х + 3у + 2z + 14 = 0
= i*((-3)*2 - 3*1)-j*(1*2 - 1*1)+k*(1*3 - 1*(-3) = -9i -j + 6k=
= { -9; -1; 6}
(-8;
0; 0 ) = =
Задача 11. Точка
пересечения прямой и плоскости
=
=
3х – 2у + 5z – 3 = 0
=
= = t
3*(1 + 6t) -
2*(3 + t) + 5*((-5) + 3t) – 3 = 0
3 + 18t – 6 -
2t – 25 + 15t – 3 = 0
31t – 31 = 0
31t = 31
t = 1
х = 1 + 6*1 у = 3 + 1 z = (-5) + 3*1
х = 7 у = 4 z = -2
( 7; 4; -2 )