Задачи и примеры их решения по теории вероятности
Вариант 3.
1. Решите уравнение
Решение
По определению
.
Тогда и уравнение принимает вид или откуда получаем и
Так как m может быть только натуральным
числом, то значение отбрасываем.
Ответ: .
2. В урне находится 12
белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что два одновременно изъятых наудачу
шара будут черными
Решение
При выборе двух шаров из
20 существует различных
вариантов, где , тогда
Определим благоприятных
исходов, т.е. извлечены два черных шара. Два черных шара из 8 можно выбрать способами следовательно,
число благоприятных исходов
.
Искомая вероятность,
согласно классическому определению вероятности, равна отношению числа
благоприятных исходов к числу всех исходов:
.
Ответ: .
3. Найдите вероятность
того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо
тому и другому
Воспользуемся
классическим определением вероятности. Двузначные числа начинаются с 10 и
заканчиваются 99 и всего их 90, т.е. N = 90.
Теперь посчитаем, сколько у нас чисел кратных либо 4, либо 5, либо тому и
другому.
Число кратное 4-м имеет
вид , кратное 5 , кратное 4 и 5 .
В интервале от 10 до 99
всего числа кратных
четырем (2 кратных до десяти), чисел кратных пяти (1 кратное до 10) и числа кратных и четырем и
пяти.
Так как множество чисел
кратных 4 и множество чисел кратных 5 не пересекаются, то всего получается 22 +
18 = 40 чисел удовлетворяющих необходимому нам условию, причем числа кратные и
четырем и пяти уже входят в эти 40 чисел. В итоге получаем, что вероятность
того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо
тому и другому равна .
Ответ: .
4. В партии 10 деталей,
из которых 8 стандартные. Из этой коробки наудачу извлекается 2 детали. Х –
число стандартных деталей. Найти закон распределения, функцию распределения
дискретной случайной величины Х, а также основные числовые характеристики
Решение
Среди 2-х извлеченных
деталей может быть 0, 1 или 2 стандартные.
Найдем вероятность
каждого исхода.
0 стандартных:
1 стандартная:
2 стандартных:
Закон распределения
принимает вид:
Х
|
0
|
1
|
2
|
р
|
|
|
Запишем функцию
распределения полученной случайной величины Х:
Математическое ожидание
М(Х) дискретной случайной величины находится по формуле:
, и подставляя данные, получим:
Дисперсию дискретной
случайной величины можно вычислить по формуле:
, и, подставляя данные, получим:
Среднеквадратичное
отклонение:
s(Х)=
Ответ: ; ; .
5. По данной выборке постройте
полигон. Найти эмпирическую функцию.
Решение
Построим полигон частот –
ломаную, соединяющую точки с координатами (Хi; Ni).
Объем выборки равен N = 1 + 3 + 2 + 4 = 10.
Найдем относительные
частоты и составим эмпирическую функцию распределения:
Хi
|
2
|
5
|
7
|
8
|
wi
|
0,1
|
0,3
|
0,2
|
Ответ: решение выше.