y2
|
3.2012735
|
3.2011172
|
3.2009393
|
3.2007371
|
3.2005089
|
3.2002573
|
3.1999954
|
3.1997612
|
3.1996304
|
t
|
0
|
0.841
|
1.785
|
2.86
|
4.106
|
5.584
|
7.402
|
9.753
|
13.081
|
1.1.3 Получение квадратичной модели
Уравнение квадратичной системы имеет
вид:
Матрицы с подстановкой номинального
режима:
1.1.4 Запись билинейной модели
Уравнение билинейной системы
записывается в виде
Приняв допущение, что критерий
оптимальности в форме О.А. Красовского
регулятор определяется по зависимости
Где матрица определена как
1.1.5 Линеаризованная модель
Линеаризуем зависимость , разложив ее на ряд Тейлора.
С учетом ранее изложенного запишем:
; (т.к. ), где ;
Припустив в случае остатка . Тогда, подставив производную , получим
Представим систему в матричной форме:
Тогда матрицы А и В запишутся в виде
,
Для определения матрицы С
необходимо установить связь между векторами x и y.
Т.к. , , то
; , то
Тогда
Система будет иметь вид
Коэффициенты модели системы:
1.1.6 Модель в дискретном времени
Система в дискретном времени имеет
вид:
dt= 24 c.
Зададим , ,
получим значения на выходах дискретной системы.
Таблица 4 Значение выходов дискретной
системы
Возмущение
|
Реакция выхода системы y(t)
|
u1=0.01
u2=0
|
y1
y2
|
0
0
|
0.00384
-0.00254
|
0.00624
-0.00352
|
0.0077
-0.03896
|
0.00859
-0.004038
|
0.00913
-0.00409
|
0.00947
-0.00411
|
время t, с
|
0
|
12
|
24
|
37
|
49
|
61
|
74
|
1.1.7 Преобразование модели в форме
Ассео
Внешне связное форму получаем из
матрицы передаточных функций
1.1.8 Вычисление МПФ системы
;; ; n=2; i=1;
1.1.9 Структурные схемы системы в
исходной форме, форме Ассео, ВСП
Рисунок 1. – Структурная схема в
исходной форме
Рисунок 2. – Структурная схема в
форме Ассео
Рисунок 3. – Структурная схема в
форме ВСП
1.1.10 Линеаризованная модель в
непрерывном и дискретном времени с датчиками и ИМ
a)
Рисунок 4. – Структурная схема
системы в непрерывном времени
б) в дискретном времени
Рисунок 5. – Структурная схема
системы в дискретном времени
1.1.11 Модель с генератором
возмущений
Соединив последовательно модель шумов
с моделью системы, в общем случае запишем новою модель системы в виде
w1=w2=100; g1=g2=0.02
где - белый шум
1.1.12 Условие правомерности
децентрализации
Система в форме Ассео:
Для децентрализованной системы
Спектральная норма матрицы С’, то
есть максимальное сингулярное число матрицы:
Спектральная норма матрицы F:
Погрешность составляет:
Можно предположить, что
децентрализация является допустимой. Децентрализованная модель запишется в
виде:
1.2 Анализ качественных свойств
системы
а)
Следовательно, матрица является
гурвицевой.
б)
max s1(A)=||A||2= 0.081<1
Следовательно, матрица А является
нильпотентной.
Проверить, является ли система (А, В,
С) постоянной, управляемой, наблюдаемой, идентифицируемой с вектор - столбцом х
= (1; 1.25), параметрически инвариантной, минимальнофазовой, расцепимой,
астатической.
а) постоянство:
Следовательно, система является
постоянной.
Следовательно система является
постоянной.
б) управляемость:
;
По первому входу:
Система управляема по первому входу.
По второму входу:
Система управляема по второму входу.
в) наблюдаемость:
Система наблюдаема.
г) идентифицированость
Система идентифицируема.
д) параметрическая инвариантность:
Система не инвариантна относительно
отклонения dA.
Система не инвариантна относительно
отклонения dB.
Система не инвариантна относительно
отклонения dС.
е) минимальнофазовость и
астатичность:
система является минимальнофазовой и астатической.
ж) расщепление:
.
1.3 Исследование процессов в системе
и анализ количественных свойств системы
1.3.1 Построение графиков кривой
разгона непрерывной системы
Построение графика решения у(t) для системы {А, В, С}, если и
Таблица 5 Значение выходов
непрерывной системы
Возмущение
|
Реакция выхода системы y(t)
|
u1=0
u2=0,01
|
Y1
Y2 10-3
|
0
|
3.874
|
6.247
|
7.701
|
8.591
|
9.137
|
9.471
|
9.676
|
9.878
|
0
|
-2.548
|
-3.523
|
-3.896
|
-4.038
|
-4.093
|
-4.114
|
-4.122
|
-4.125
|
-4.126
|
u1=0,01
u2=0
|
Y1
Y2
|
0
|
3.874
|
6.247
|
7.701
|
8.591
|
9.137
|
9.471
|
9.676
|
9.802
|
9.878
|
0
|
0.023
|
0.03
|
0.034
|
0.035
|
0.035
|
0.036
|
0.036
|
0.036
|
0.036
|
время t, с
|
0
|
12
|
24
|
37
|
49
|
61
|
74
|
86
|
98
|
111
|
Рисунок 6 – Реакция первого выхода на
возмущения u1(t)
Рисунок 7 – Реакция второго выхода на
возмущения u1(t)
Рисунок 8 – Реакция первого выхода на
возмущения u2(t)
Рисунок 9 – Реакция второго выхода на
возмущения u2(t)
1.3.2 Построение графиков кривой
разгона дискретной системы
Система в дискретном времени имеет
вид:
dt=24 c.
Зададим , ,
получим значения на выходах дискретной системы, которые совпадают с расчетом
задания в п.4.
Таблица 6 Значение выходов дискретной
системы
Возмущение
|
Реакция выхода системы y(t)
|
u1=0.01
u2=0
|
y1
y2 10-3
|
0
|
0
|
3.874
|
6.247
|
7.701
|
8.591
|
9.137
|
9.471
|
9.676
|
9.802
|
9.878
|
0
|
0
|
-2.548
|
-3.523
|
-3.896
|
-4.038
|
-4.093
|
-4.114
|
-4.122
|
-4.125
|
-4.126
|
такт
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
Рисунок 10 – Реакция выходов системы на
возмущения u (t)
1.3.3 Построение графиков кривой
разгона нелинейной системы
Данные для построения графиков получены
в пункте 1.1.2
Для первого выхода пользуемся
таблицей 1. Получившиеся графики можем сопоставить с графиками полученным в
пункте 1.3.1, введя поправку на начальное значение параметра
Рисунок 11 – Реакция первого выхода
на возмущения u1(t) в пункте 1.3.1
Рисунок 12 – Реакция первого выхода на
возмущение для линеаризованной системы
Легко видеть, что эти график совпадают,
что говорит о том, что линеаризация по первому выходу проведена на приемлемом
уровне
Рисунок 14 – Реакция второго выхода
на возмущения u1(t) полученного в пункте 1.3.1
Рисунок 13 – Реакция второго выхода
на возмущения для линеаризованной системы
В данном случае имеет место
погрешность которую можно связать с ошибкой вносимой кусочно – линейной
аппроксимации.
1.3.4 Установившиеся состояния
системы
Вычислить постоянное значение
состояния системы в условиях
Т.к. установившееся значение
предполагает отсутствие динамики, то систему можно записать в следующем виде
1.4 Идентификация многомерной математической модели по
данным эксперимента
1.4.1 Активная идентификация
Для дискретной формы системы (F, G, C) из пункта 3. 1. провести реализацию системы.
Запишем систему в виде:
Подавая импульс по первому входу,
рассчитаем:
Теперь имея экспериментальные данные,
сгруппировав их в матрицы H и H1 можем приступить к их обработки.
Из собственных векторов от () и () построим:
Для проверки идентификации найдем
коэффициент передачи системы
Коэффициент передачи, вычисленный по
исходным матрицам
Можно сделать вывод о том, что
система идентифицирована, верно
1.4.2 Пассивная идентификация
Для дискретной формы системы (F, G, C) из пункта 3. 1.
провести пассивную идентификацию системы, предполагая, что вектор входа
изменяется соответственно таблице:
Таблица 7 Значение вектора входа для
пассивной идентификации.
Такт, n
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
U(n)
|
0.01
|
0
|
0
|
0.04
|
0
|
0
|
0
|
0.01
|
0.02
|
0
|
0.03
|
0
|
Используя матрицы системы в
дискретной форме для заданных значений вектора входа, рассчитаем значения вектора
выхода
Результаты расчета сведем в таблицу:
Такт, n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
y(n)
|
0.003935
|
0.006321
|
0.012
|
0.023
|
0.026
|
0.016
|
-0.0026
|
0.022
|
0.053
|
0.0091
|
0.071
|
0.026
|
Используя данные эксперимента
(Таблица 8) можем приступить непосредственно к определению параметров
идентифицированной системы
Тогда
Для проверки идентификации найдем
коэффициент передачи системы
Система идентифицирована, верно
2. Конструирование многомерных
регуляторов, оптимизирующих динамические свойства агрегата
2.1 Конструирование П. - регулятора,
оптимизирующего систему по интегральному квадратичному критерию
Регулятор состояния, который
оптимизирует систему по критерию:
Определяется по соотношениям:
P=LR1(A,B,Q,R);
При этом Q=R=I
Т.к. матрица С. является
инвертированной, для образования регулятора выхода нет необходимости
конструировать наблюдатель состояния – недосягаемое состояние просто
вычисляется по формуле .
Следовательно, регулятор выхода имеет
вид
2.2 Конструирование компенсаторов
заданий и измеряемых возмущений
Обозначивши через z заданное значение выхода y и припуская, что , получим
Приняв во внимание, что А=В
Если при компенсации возмущений и
заданий учесть «стоимость» управления, записавши критерий в виде
,
то компенсаторы (оптимальные) определяются
зависимостями
Значение выхода при действии
возмущения f в системе без компенсаторов при z=0
а также с оптимальным компенсатором.
2.3 Конструирование регулятора с
компенсатором взаимосвязей
Проверим, или регулятор действительно
расцепляет систему, т.е. матрица передаточных функций является диагональной
Используя V как новый вход можно далее записать
Регулятор выхода можно записать в
виде
2.4 Конструирование апериодического
регулятора
Апериодический регулятор для
дискретной системы может быть получен: из условия . Запишем
2.5 Конструирование
децентрализованного регулятора
Используя форму Ассео, запишем:
Следовательно, получим
Для определения критерия
2.6 Конструирование надежного
регулятора
Если матрица G моделирует отказы каналов измерения,
то регулятор находится в виде
Берем s=0.04 При этом значении выполняются необходимые условия:
s>
Результат решения уравнения Ляпунова
первого типа
Коэффициент передачи надежного
регулятора
Поверим систему с регулятором на
устойчивость
Следовательно, система является
постоянной при любых отклонениях.
2.7 Конструирование блочно-иерархического регулятора
Воспользуемся регулятором состояния и
проверим или можно создать последовательность регуляторов состояния.
; ;
; ;
Рисунок 15 – Иллюстрация монотонного
уменьшения величины критерия
Рисунок 16 – Схема блочно –
иерархического регулятора
2.8 Конструирование регулятора для
билинейной модели
Билинейный регулятор определяется по
следующей зависимости
Вводя все компоненты в уравнение,
получаем:
2.9 Конструирование регулятора для
нелинейной модели
Сконструировать нелинейный регулятор,
используя начальную неупрощенную модель бака.
Расчетное соотношение для регулятора –
e=z – x
2.10 Конструирование программного
регулятора
Используя линеаризованную модель в
дискретном времени, записать программу перевода системы из состояния в состояние
;
3. Анализ свойств сконструированной
системы с оптимальным П регулятором
3.1 Построить процесс в системе с П.
регулятором
Для построения процесса графика необходимо
пользоваться следующую формулу
В итоге получаются следующие графики
переходных процессов. Для сравнения приведены переходные процессы для систем
без компенсаторов (штрихованная линия)
Рисунок 17 – Сопоставление качеств
переходного процесса первого и второго выхода с компенсатором и без него.
Из графика видно, что система выходит
на установившееся значение раньше если на ней стоит компенсатор.
3.2 Вычислить критерий оптимальности
в системе
Величина критерия с удельным регулятором
вычисляется
Отклонение параметров на 10 процентов
Отклонение параметров на 5 процентов
Матрицы чувствительности будут
рассчитаны в пункте 3.4:
В конечном счете, получаем
3.3 Оценить потерю качества от децентрализации
Коэффициент передачи
децентрализованного регулятора найден в пункте 2.5
Для определения критерия
3.4 Вычислить чувствительность системы
dJ/dA, dJ/dВ, dJ/dС, dJ/dК для системы (А1,В, С), где
А1=А+В*К, К=*Р.
Матрицы А1 и P (решение уравнения Риккати) Pлп (решение уравнения Ляпунова ) рассчитывались ранее
Для расчета матрицы V следует решить
уравнение Ляпунова вида:
А1*V+V* А1+I=0
Таким образом :
; ;
Все необходимые составляющие для расчета чувствительности у нас есть:
dJ/dA=2∙P∙V==;
dJ/dВ=2∙P∙V∙=;
dJ/dС=2∙∙∙P∙V+2∙∙K∙V=;
dJ/dК =2∙K∙V+2∙∙P∙V=
3.5 Анализ робастности системы с
надежным регулятором
Матрицы отклонения начальной системы
То есть аа=0.0081; bb=0.0289; cc=0.004.
Подставляя значения, полученные в
пункте 2.6
Т.к. определенная матрица
положительно определенная
то сконструированная система
робастная поэтом стационарная и при изменении параметров в расчетных диапазонах
величина критерия изменяется очень мало.
3.6 Решение обратной задачи
конструирования
Записав расцеплояющей регулятор в виде
Далее используя соотношение
где W – произвольная матрица выбирается из условия S>0
В конечном счете, получаем
4. Результат вспомогательных расчетов
1.Решение уравнения Риккати первого
типа
Заданы матрицы
Сформируем матрицу М
Найдем ее собственные значения
Выполним преобразование подобия
Решение уравнения Риккати
2.Решение уравнения Ляпунова
3. Вычисление матричной экспоненты
4.Опеделение Фробениусовой матрицы
5. Определение Вандермодовой матрицы
Выводы
Исследован технический объект – смесительный
бак. Получен спектр модели: линейная, нелинейная, экспериментальная и аналитическая
модель. Проведены эквивалентное аппроксимационое преобразование модели агрегата
Исследованы качественные и
количественные свойства системы. Разработаны регуляторы управления объектом: П.
– регулятор;
апериодический регулятор; надежный
регулятор; блочно – иерархический регулятор; регулятор для билинейной и для
нелинейной модели; программный регулятор; регулятор с компенсатором
взаимосвязей. А также компенсаторы возмущений и компенсаторы на задании.
Проанализированы процессы в
сконструированной системе с регулятором в качественном и количественном
отношении (построен процесс в системе с регулятором, вычислен критерий
оптимальности, проанализирована робастность, решена обратная задачи
конструирования ).
На основании данного анализа можно
сделать вывод о том, что наиболее подходящим регулятором для рассмотренной
системы является оптимальный П. – регулятор. Хотя он и обладает некоторым
перерегулированием, имеет небольшую статическую ошибку (при отсутствии
компенсатора на задание), однако все эти недостатки компенсируются его
простотой в установке и обслуживании. Помимо этого он обладает наименьшим временем
переходного процесса, неплохим показателем критерия оптимальности. В силу своей
простоты он является более надежным в том плане, что вероятность выхода из
строя самого регулятора мала.
Литература
1.
Стопакевич А.А., Методические
указания к практическим занятиям по курсу « Основы системного анализа и теория
систем » для бакалавров по автоматики. – Одесса: ОНПУ, 1997.
2.
Стопакевич А.А. Сложные
системы: анализ, синтез, управление. – Одесса: ОНПУ 2004