Разработка программы определительных испытаний
Министерство
образования и науки Российской Федерации
Тольяттинский
филиал Московского государственного университета пищевых производств
Кафедра
Менеджмента пищевых производств
Курсовая
работа
по дисциплине
«Методы и средства измерений, испытаний и контроля»
на тему «Разработка
программы определительных испытаний»
Студентка группы:
Преподаватель:
Тольятти 2008
Содержание
Введение
1 Разработка программы испытаний
1.1Общие положения
1.2 Объект испытаний
1.3 Цель испытаний
1.4 Место проведения и обеспечения
испытаний
1.5 Объем и методика испытаний
1.6 Обработка результатов испытаний
1.6.1 Постановка задачи
1.6.2 Вычисление основных
характеристик выборки
1.6.3 Формирование статистического ряда
и графическое представление данных
1.6.4 Подбор подходящего закона
распределения вероятностей
1.6.5 Определение показателей
надежности объекта испытаний
1.6.6 Протокол испытаний
2 Пример обработки результатов
испытаний для восстанавливаемого объекта испытаний
2.1 Постановка задачи
2.2 Вычисление основных характеристик
выборки
2.3 Формирование статистического ряда
и графическое представление данных
2.4 Подбор подходящего закона
распределения вероятностей
2.5 Определение показателей
надежности объекта испытаний
Заключение
Список использованных источников
Введение
Испытанием –
это экспериментальное определение количественных и качественных характеристик
свойств объекта как результата воздействия на него при его функционировании или
моделировании.
Испытания
опытных образцов, установочных и первых промышленных партий, контрольные
периодические испытания серийной продукции – это основа построения всей системы
разработки и постановки продукции на производство.
Постоянное
повышение требований к качеству выпускаемой продукции, рост сложности
современной техники, создание новых видов продукции с использованием последних
достижений науки и техники определили значительное расширение видов испытаний,
увеличение их сложности и трудоемкости.
Испытания
являются неотъемлемой частью взаимоотношений заказчика и изготовителя
продукции, предприятия-изготовителя конечной продукции и предприятий-смежников,
поставщика и потребителя при внутреннем и международном товарообмене.
Все испытания по своему
назначению разделяют на четыре группы: исследовательские, контрольные,
сравнительные и определительные.
Целью данной
курсовой работы является определение реального уровня надежности выбранного
объекта испытаний –
электродвигатель однофазный коллекторный переменного
тока типа ДК 60 – 40, предназначенный для привода различных бытовых приборов.
1. Разработка
программы испытаний
Программа испытаний – это
обязательный для выполнения организационно-методический эксперимент.
Программа устанавливает
цели испытаний, объект испытаний, объем и методику проводимых экспериментов,
порядок, условия, место и сроки проведения испытаний, ответственность за
обеспечение и проведение испытаний, ответственность за оформление протоколов и
отчетов по испытаниям.
Немаловажную роль в
программе испытаний играет план проведения испытаний. В плане указываются
работы необходимые для проведения испытаний, изготовления образцов, приемка
образцов, измерение и определение параметров образцов объекта испытаний,
подготовка испытательного оборудования, оформление результатов испытаний,
согласование утверждения протокола испытаний и др.
Основной задачей
определительных испытаний является определение характеристик изделия или
материала. Существенным является правильно сформулировать цели испытания.
Цель испытания раскрывает
его назначение, которое должно отображаться в наименовании испытаний.
1.1 Общие
положения
Настоящая
программа испытаний составлена на основании следующих нормативно-технических
документов:
- ГОСТ
27.410-87 «Методы контроля показателей надежности и планы контрольных испытаний
на надежность»;
- ГОСТ
11828-86 «Машины электрические вращающиеся. Общие методы испытаний»;
- ГОСТ
10159—79 «Машины электрические вращающиеся коллекторные. Методы испытаний»
1.2 Объект
испытаний
Главным признаком объекта
испытаний является то, что по результатам его испытаний принимается то или иное
решение, а именно его годность или выбраковывание, предъявление на следующие
испытания, возможность серийного выпуска и т.д.
Объектом испытаний
является электродвигатель однофазный коллекторный переменного
тока типа ДК 60 – 40.
Таблица 1 –
Габаритные установочные и присоединительные размеры электродвигателей
№
|
Наименование
параметра
|
Тип
двигателя
|
ДК 60 - 40
- 15 УХЛ4
|
1
|
Напряжение
питания, В
|
220±22
|
2
|
Частота
питания, Гц
|
50±1
|
3
|
Вращаюший
момент, Нхм
|
0,026±0,003
|
4
|
Частота
вращения, об./мин.
|
+3000
15000
-1500
|
5
|
Ток, А не
более
|
0,48
|
6
|
Коэффициент
полезного действия, %
|
45 -6,8
|
7
|
Масса
двигателя, кг не более
|
0,35
|
8
|
Lmax, мм
|
90
|
9
|
L1, мм
|
19,5
|
10
|
L2, мм
|
4,5+0,5
|
11
|
d, мм
|
4-0,012
|
12
|
Средняя
наработка до отказа, не менее, ч
|
100
|
13
|
Средний
срок службы двигателя, не менее, лет
|
10
|
Электродвигатель однофазный
коллекторный переменного тока типа ДК 60 – 40
применяется для привода кофемолок и других бытовых приборов.
1.3 Цель
испытаний
Целью испытаний является
определение фактических показателей надежности объекта исследования, таких как:
среднее время безотказной работы T (средняя наработка до
отказа), вероятность безотказной работы объекта в течение времени P(t), вероятность отказа Q(t), плотность
распределения времени до отказа f(t), интенсивность отказа λ(t) в момент времени t.
1.4 Место
проведения и обеспечение испытаний
Испытательный центр ОАО
«ПЭМЗ», аккредитованный Федеральным агентством по техническому регулированию и
метрологии для проведения испытаний с целью сертификации.
1.5 Объем
и методика испытаний
Испытания
проводятся по плану [NUN], согласно которому испытывают одновременно N=100 объектов,
отказавшие во время испытаний объекты не восстанавливают и не заменяют,
испытания прекращают, когда число отказавших объектов достигло N=100.
1.6
Обработка результатов испытаний
1.6.1
Постановка задачи
Требуется
определить показатели надежности объекта испытаний по опытным данным
определительных испытаний.
На испытания
поставлено N = 100 объектов. Моменты отказов объекта испытаний представлены в
таблице 2. Все объекты работают до своего отказа и после отказа не
ремонтируются. Требуется определить статистические и теоретические показатели
надежности объекта: T, P(t), Q(t), f(t), λ(t).
Таблица 2
– Моменты отказов объектов, в часах
350
|
244
|
69
|
234
|
145
|
196
|
389
|
23
|
251
|
127
|
226
|
118
|
219
|
204
|
120
|
180
|
406
|
182
|
74
|
240
|
206
|
257
|
181
|
104
|
130
|
341
|
245
|
9
|
226
|
161
|
147
|
71
|
219
|
361
|
162
|
112
|
67
|
182
|
34
|
76
|
143
|
60
|
119
|
190
|
281
|
437
|
226
|
307
|
41
|
148
|
228
|
37
|
296
|
51
|
254
|
44
|
190
|
143
|
795
|
117
|
191
|
14
|
392
|
157
|
16
|
203
|
89
|
346
|
303
|
40
|
377
|
319
|
258
|
37
|
68
|
235
|
385
|
128
|
111
|
640
|
136
|
224
|
174
|
601
|
35
|
71
|
345
|
132
|
197
|
35
|
331
|
83
|
97
|
178
|
328
|
194
|
110
|
120
|
106
|
109
|
1.6.2
Вычисление основных характеристик выборки
Основными числовыми
характеристиками выборочной совокупности является: выборочное среднее,
выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое (или стандартное)
отклонение, наименьшие и наибольшие значения, размах выборки, асимметрия,
эксцесс.
Для расчета указанных
характеристик в Excel необходимо
поставить курсор в ячейку, в которую будет записано значение характеристики,
вызвать соответствующую функцию и в качестве ее аргумента указать блок ячеек со
статистическими данными.
Для удобства следующих
операций значения случайной величины Z (статистические данные) перепишем на другой лист в прямоугольный блок
ячеек, например А1:J10.
Значения вычисляемых
характеристик будет располагаться в ячейках F12 по F19.
Таблица 3 – Расчет
выборочных характеристик
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
G
|
H
|
I
|
J
|
1
|
99
|
91
|
104
|
114
|
97
|
91
|
99
|
101
|
99
|
95
|
2
|
109
|
98
|
119
|
84
|
102
|
120
|
107
|
97
|
110
|
102
|
3
|
88
|
99
|
99
|
104
|
103
|
110
|
96
|
85
|
109
|
89
|
4
|
79
|
100
|
111
|
103
|
89
|
92
|
109
|
99
|
91
|
86
|
5
|
100
|
90
|
102
|
91
|
89
|
95
|
98
|
87
|
117
|
100
|
6
|
95
|
98
|
97
|
107
|
90
|
112
|
85
|
101
|
94
|
87
|
7
|
99
|
93
|
104
|
90
|
90
|
109
|
89
|
95
|
102
|
88
|
8
|
100
|
98
|
93
|
104
|
107
|
98
|
104
|
112
|
100
|
105
|
9
|
115
|
113
|
94
|
110
|
93
|
94
|
82
|
100
|
94
|
102
|
10
|
90
|
94
|
102
|
110
|
90
|
99
|
93
|
87
|
115
|
97
|
11
|
|
12
|
Выборочное среднее
|
98,68
|
13
|
Выборочная дисперсия
|
76,86626
|
14
|
Выборочное ср. квадр.
отклонение
|
8,767341
|
15
|
Наименьшее значение
|
79
|
Наибольшее значение
|
120
|
17
|
Размах выборки
|
41
|
18
|
Асимметрия
|
0,282254
|
19
|
Эксцесс
|
-0,38419
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление выборочных
характеристик осуществляется по формулам:
- выборочное среднее F12 = СРЗНАЧ (A1:J10);
- выборочная дисперсия F13 = ДИСП (A1:J10);
- выборочное среднее
квадратическое отклонение
F14 = СТАНДОТКЛОН (A1:J10) или F14 =
КОРЕНЬ (F13);
- Наименьшее значение: F15 = МИН(A1:J10);
- Наибольшее
значение: F16
= МАКС(A1:J10);
- Размах
выборки: F17
= F16-F15;
- Асимметрия:
F18 = СКОС(A1:J10);
- Эксцесс: F19 = ЭКСЦЕСС(A1:J10).
1.6.3
Формирование статистического ряда и графическое представление данных
Для
наглядного представления статистических данных воспользуемся группировкой.
Числовая ось при этом разбивается на интервалы, и для каждого интервала
подсчитывается число элементов выборки, которые в него попали. Группировка
данных производится в следующей последовательности:
наименьшее
значение округляется в меньшую сторону, а наибольшее – в большую сторону до
«хороших» чисел хmin и хmax;
выбирается
количество групп k, удовлетворяющее неравенству; иногда оно определяется по формуле k=[5lg n]. Если объем выборки n=100, то k=10;
находится шаг
по формуле:
,
где R = хmax - хmin – длина промежутка, в
котором содержатся статистические данные;
определяются
границы частичных интервалов:
а0
= хmin, а1 = а0 + h, a2 = a1 + h, … , ak = ak-1 + h = хmax;
в каждом
интервале вычисляются средние значения
;
для каждого
интервала [ai-1,ai], i = 1,2, …,k находятся:
– частоты ni, т.е. число выборочных
значений, попавших в интервал;
–
относительные частоты ;
– накопленные
частоты wi = n1 + n2 + … + ni;
– накопленные
относительные частоты .
Для
выборочной совокупности (таблица 2) результаты группировки представим в таблице
4. Сначала укажем объем выборки, максимальное и минимальное значение, размах
выборки, количество групп и шаг:
А22 = 100, В22
= 120, С22 = 70, D22 = B22 – C22, E22 = 10, F22 = D22/E22.
В ячейках А24:H24 укажем заголовки
будущей таблицы. В этой таблице колонки В и С можно заполнить соответствующими
формулами, представленными выше, для определения границ интервалов. Колонку D заполним по формуле: D30 = (B25+C25)/2, с последующим
копированием в ячейки D26:D34.
Таблица 4 –
Группировка статистических данных
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
G
|
H
|
|
n
|
Xmax
|
Xmin
|
R
|
k
|
h
|
|
|
22
|
100
|
120
|
70
|
50
|
10
|
5
|
|
|
23
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
|
Группа
|
Левая граница
|
Правая граница
|
Середина
|
Частота
|
Относ. частота
|
Накоп. частота
|
Накоп. относ. частота
|
25
|
1
|
70
|
75
|
72,5
|
0
|
0
|
0
|
0
|
26
|
2
|
75
|
80
|
77,5
|
1
|
0,01
|
1
|
0,01
|
27
|
3
|
80
|
85
|
82,5
|
4
|
0,04
|
5
|
0,05
|
28
|
4
|
85
|
90
|
87,5
|
16
|
0,16
|
21
|
0,21
|
29
|
5
|
90
|
95
|
92,5
|
18
|
0,18
|
39
|
0,39
|
30
|
6
|
95
|
100
|
97,5
|
24
|
0,24
|
63
|
0,63
|
31
|
7
|
100
|
105
|
102,5
|
16
|
0,16
|
79
|
0,79
|
32
|
8
|
105
|
110
|
107,5
|
11
|
0,11
|
90
|
0,9
|
33
|
9
|
110
|
115
|
112,5
|
7
|
0,07
|
97
|
0,97
|
34
|
10
|
115
|
120
|
117,5
|
3
|
0,03
|
100
|
1
|
Для
заполнения колонки Е выделим ячейки Е25:Е34 и воспользуемся функцией ЧАСТОТА,
указав массив статистических данных и массив правых границ интервалов: { =
ЧАСТОТА (А1:J10;
C25:C34)}
Одновременным
нажатием клавиш заполним остальные выделенные ячейки.
Колонку F заполним с помощью
формулы:
F25 = E25/$A$22, с последующим
копированием в ячейки F26:F34
Колонку G заполним с помощью
формулы:
G25 = E25, G26 = G25 + E26, с последующим
копированием в ячейки G32:G39
Колонку H заполним с помощью
формулы:
H25 = G25/$A$22, с последующим
копированием в ячейки H26:H34
Данные,
собранные в таблице 4 наглядно представим с помощью:
полигон
частот – графическая зависимость частот (относительных частот) от середины
интервалов (рисунок 1).
Рисунок 1 – Полигон
частот
кумуляты
частот – графическая зависимость накопленных частот (накопленных относительных
частот) от середины интервалов (рисунок 2).
Рисунок 2 –
Кумулята частот
1.6.4
Подбор подходящего закона распределения вероятностей
Далее
рассмотрим некоторые известные распределения, такие как экспоненциальное,
нормальное и гамма-распределение, с целью проверки подчиняется ли наше
распределение вероятностей заданному.
Проверка на
соответствие данных испытаний распределению производится перебором трех
распределений, указанных выше, включая заданное, а именно гамма-распределение.
Чтобы иметь полную
информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого
распределения. Таким образом, математическое ожидание случайной величины t равно выборочной
средней, а среднее квадратическое отклонение случайной величины t – выборочному среднему
квадратическому отклонению. Указанные характеристики находятся в ячейках F12 и F14 соответственно.
Поместим эти значения в ячейки А2 и В2 соответственно (таблица 5).
Определим
параметры экспоненциального (λ), нормального (m – математическое
отклонение и σ – среднее квадратическое отклонение) и гамма-распределения
(α и β) в соответствии с формулами:
, ,
B5
= 1/A2;
B8
= A2;
B9
= B2;
B12
= (A2/B2)^2;
B13
= B2^2/A2.
Таблица 5 –
Значения плотностей распределения
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
1
|
Матем.
ожидание
|
Ср. кв.
отклон.
|
|
|
|
2
|
98,68
|
8,767340682
|
|
|
|
3
|
|
|
|
|
|
4
|
Параметры
экспоненциального распределения
|
|
|
|
5
|
λ
|
0,0101
|
|
|
|
6
|
|
|
|
|
|
7
|
Параметры
нормального распределения
|
|
|
|
8
|
m
|
98,6800
|
|
|
|
9
|
σ
|
8,767340682
|
|
|
|
10
|
|
|
|
|
|
11
|
Параметры
гамма-распределения
|
|
|
|
12
|
α
|
126,6842
|
|
|
|
13
|
β
|
0,7789
|
|
|
|
14
|
|
|
|
|
|
15
|
Середина
|
Плотность
относит. частот
|
Плотность
экспоненц. распред.
|
Плотность
нормал. распред.
|
Плотность
гамма- распред.
|
16
|
72,5000
|
0
|
0,0049
|
0,0005
|
0,0003
|
17
|
77,5000
|
0,002
|
0,0046
|
0,0025
|
0,0019
|
18
|
82,5000
|
0,008
|
0,0044
|
0,0083
|
0,0080
|
19
|
87,5000
|
0,032
|
0,0042
|
0,0202
|
0,0213
|
20
|
92,5000
|
0,036
|
0,0040
|
0,0355
|
0,0374
|
21
|
97,5000
|
0,048
|
0,0038
|
0,0451
|
0,0456
|
22
|
102,5000
|
0,032
|
0,0036
|
0,0414
|
0,0399
|
23
|
107,5000
|
0,022
|
0,0034
|
0,0274
|
0,0259
|
24
|
112,5000
|
0,014
|
0,0032
|
0,0131
|
0,0128
|
25
|
117,5000
|
0,006
|
0,0031
|
0,0045
|
0,0049
|
В ячейках
В16:В25 вычислим плотности относительных частот как частное от деления
относительных частот (ячейки F25:F34) на шаг (ячейка $F$22) из таблицы 4.
Плотности
экспоненциального, нормального и гамма-распределений рассчитываются в
соответствии с формулами:
С16 =
ЭКСПРАСП (А16;$B$5;ЛОЖЬ);
D16 = НОРМРАСП (А16;$B$8;$B$9;ЛОЖЬ);
E16 = ГАММАРАСП (А16;$B$12;$B$13;ЛОЖЬ).
Затем копируем
их в блок ячеек С17:Е25.
После чего
строим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее
распределений. Графическое изображение гистограммы кривых различных
распределений приведены на рисунках 3- 5.
Рисунок 3 –
Сглаживание гистограммы плотностью экспоненциального распределения
Рисунок 4 –
Сглаживание гистограммы плотностью нормального распределения
Рисунок 5 –
Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения
Используя
критерий χ2, установим, верна ли принятая гипотеза о том, что
статистические данные подчиняются нормальному распределению.
Для
применения критерия χ2 необходимо, чтобы частоты ni, соответствующие каждому
интервалу, были не меньше 5. Для этого при необходимости объединим рядом
стоящие интервалы, а их частоты суммируем. Далее вычислим следующую сумму:
,
где pi – теоретическая
вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [ai-1,ai].
Предположим,
что случайная величина t имеет функцию распределения F(t), поэтому pi = F(ai) – F(ai-1).
Образец
расчетов по предыдущей формуле для трех распределений представлен в таблице 6.
В колонке А
содержатся левые, а в колонке В – праве границы интервалов. В колонке С
находятся соответствующие частоты. В колонке D рассчитываются
теоретические вероятности в зависимости от вида распределения.
Для
экспоненциального распределения:
D31 = ЭКСПРАСП (B31; $B$5; ИСТИНА) – ЭКСПРАСП
(А31; $B$5;
ИСТИНА);
Для
нормального распределения:
D40 = НОРМРАСП (В40; $B$8; $B$9; ИСТИНА) – НОРМРАСП
(А40; $B$8;
$B$9; ИСТИНА);
Для
гамма-распределения:
D49 = ГАММАРАСП (В49; $B$12; $B$13; ИСТИНА) – ГАММАРАСП
(А49; $B$12;
$B$13$ ИСТИНА).
В колонке Е
рассчитываются слагаемые соотношения по формуле:
Е31 = (С31-100*В31)^2/(100*D31), которая копируется в
другие ячейки колонки Е.
После чего
для каждого рассмотренного распределения определим итоговые суммы:
Е38 =
СУММ(E34:E39);
Е47 =
СУММ(E42:E47);
Е56 =
СУММ(Е50:Е55).
Которые равны
соответственно 659,6862; 5,2199 и 3,8740.
Гипотеза о
виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение χ2выч
достаточно мало, а именно не превосходит критического значения χ2кр,
которое определяется по распределению χ2 в зависимости от
заданного уровня значимости α и числа степеней свободы r=k’ – s – 1. где k’ – количество интервалов
после объединения; s – число неизвестных параметров распределения, которые были
определены по выборке.
В данном
примере r
= 7 – 2 – 1 = 2
Критическое
значение рассчитывается по формуле:
Е57 =
ХИ2ОБР(0,05;4), из таблицы 6 видно, оно равно 9,4877.
Поскольку 5,2199<9,4877,
то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют нормальное распределение
с параметрами α = = 98,68 и σ = 8,7673 соответственно.
Таблица 6 –
Подбор распределения на основе критерия χ2
|
А
|
B
|
С
|
D
|
E
|
29
|
Левая граница
|
Правая граница
|
Частота
|
Вероятности
|
χ²
|
30
|
|
|
|
Экспоненциальное
распределение
|
|
31
|
70
|
85
|
5
|
0,069374468
|
0,5411
|
85
|
90
|
16
|
0,020878363
|
92,7028
|
33
|
90
|
95
|
18
|
0,019846835
|
129,2349
|
34
|
95
|
100
|
24
|
0,018866271
|
259,1934
|
35
|
100
|
105
|
16
|
0,017934153
|
112,5378
|
36
|
105
|
110
|
11
|
0,017048088
|
50,6805
|
37
|
110
|
120
|
10
|
0,031610928
|
14,7957
|
38
|
Сумма
|
659,6862
|
39
|
|
|
|
Нормальное
распределение
|
|
40
|
70
|
85
|
5
|
0,058804812
|
0,1318
|
41
|
85
|
90
|
16
|
0,101737571
|
3,3365
|
42
|
90
|
95
|
18
|
0,176260064
|
0,0079
|
43
|
95
|
100
|
24
|
0,222500256
|
0,1376
|
44
|
100
|
105
|
16
|
0,204663183
|
0,9747
|
45
|
105
|
110
|
11
|
0,137173828
|
0,5383
|
46
|
110
|
120
|
10
|
0,090811892
|
0,0930
|
47
|
Сумма
|
5,2199
|
48
|
|
|
|
Гамма-распределение
|
|
49
|
70
|
85
|
5
|
0,053672643
|
0,0251
|
50
|
85
|
90
|
16
|
0,107072418
|
2,6163
|
51
|
90
|
95
|
18
|
0,185399233
|
0,0157
|
52
|
95
|
100
|
24
|
0,224931406
|
0,1009
|
53
|
100
|
105
|
16
|
0,197757868
|
0,7209
|
54
|
105
|
110
|
11
|
0,129724735
|
0,2999
|
55
|
110
|
120
|
10
|
0,090713209
|
0,0951
|
56
|
Сумма
|
3,8740
|
57
|
Критическое
значение критерия
|
9,4877
|
1.6.5
Определение характеристик надежности системы
После
подтверждения гипотезы о виде закона распределения, определим характеристики
надежности системы. Ббыло установлено, что случайная величина имеет плотность
распределения вероятностей:
Основными
характеристиками надежности невосстанавливаемой системы являются вероятность
безотказной работы, и вероятность отказа в течение времени t.
Данные
характеристики вычисляются по формулам:
В64 = 1 -
НОРМРАСП (А64; $B$8; $B$9; ИСТИНА);
С64 = 1 - В64;
Плотность
распределения и интенсивность отказа рассчитаем по следующим формулам:
D64 = НОРМРАСП (А64; $B$8; $B$9; ЛОЖЬ);
E64 = D64/B64.
Далее
скопируем формулы в ячейки В64:В74, С64:С74, D64:D74, E64:E74 соответственно.
В результате
будет получена таблица вычисленных ранее значений (таблица 7) и построены их
графики (рисунки 6,7,8).
Таблица 7 –
Значения показателей надежности объекта испытаний
|
А
|
B
|
C
|
D
|
E
|
63
|
t
|
P(t)
|
Q (t)
|
f (t)
|
λ (t)
|
64
|
63,611
|
1,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
65
|
74,000
|
0,998
|
0,002
|
0,001
|
0,001
|
66
|
84,000
|
0,953
|
0,047
|
0,011
|
0,012
|
67
|
94,000
|
0,703
|
0,297
|
0,039
|
0,056
|
68
|
104,000
|
0,272
|
0,728
|
0,038
|
0,139
|
69
|
114,000
|
0,040
|
0,960
|
0,010
|
0,245
|
70
|
124,000
|
0,002
|
0,998
|
0,001
|
0,363
|
71
|
134,000
|
0,000
|
1,000
|
0,000
|
0,485
|
Рисунок 6 –
График вероятности безотказной работы и вероятности отказа
Рисунок 7 –
График плотности распределения вероятности
Рисунок 8 –
График интенсивности отказа
1.6.6
Протокол испытаний
ИСПЫТАТЕЛЬНЫЙ
ЦЕНТР «ПЭМЗ-электро»
аттестат №
РОСС RU.0004.13ЛРН02
445030.
Тольятти, ул. Свердлова 19
|
телефон
(8482) 33-77-88
|
e-mail: pemz-elektro@tlt.ru
|
ПРОТОКОЛ
ИСПЫТАНИЙ № 13
ЗАКАЗЧИК:
ОАО «Старт»,
445028, г. Тольятти, ул. Революционная 72а.
ПРОИЗВОДИТЕЛЬ
ПРОДУКЦИИ:
ООО
«Электротех», г. Самара, ул. Новосадовая 3.
ВИД
ИСПЫТАНИЯ:
Определение
фактических показателей надежности электродвигателя однофазного коллекторного переменного тока типа ДК 60 – 40.
ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ
ИСПЫТАНИЙ:
10.09.2008 г.
– 25. 12. 2008 г.
ДОГОВОР №:
По заявке от
01.09.2008 г.
ТЕКСТ: 2 стр.
ЦЕЛЬ
ИСПЫТАНИЯ:
Определение
реального уровня надежности у предъявляемых объектов по опытным данным
определительных испытаний.
ОТБОР
ОБРАЗЦОВ:
Дата отбора:
15.09.2008 г.
Место отбора:
склад
Другие
сведения: отбор образцов и их подготовка к испытаниям по ГОСТ Р 11828-86.
ХАРАКТЕРИСТИКА
ОБРАЗЦОВ:
Вид
продукции: электродвигатель
однофазный коллекторный переменного тока типа ДК 60 –
40.
Другие
сведения: средняя наработка до отказа не менее 90 ч.
МЕТОДИКА
ИСПЫТАНИЙ:
Испытания
проводились по плану [NUN], согласно которому испытывались одновременно 100 объектов,
отказавшие во время испытаний объекты не подлежали восстановлению и не
заменялись, испытания прекращались, когда число отказавших объектов достигло
также 100.
РЕЗУЛЬТАТЫ
ИСПЫТАНИЙ:
Значения
показателей надежности объекта испытаний приведены в таблице.
t
|
P(t)
|
Q (t)
|
f (t)
|
λ (t)
|
63,611
|
1,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
74,000
|
0,998
|
0,002
|
0,001
|
0,001
|
84,000
|
0,953
|
0,047
|
0,011
|
0,012
|
94,000
|
0,703
|
0,297
|
0,039
|
0,056
|
104,000
|
0,272
|
0,728
|
0,038
|
0,139
|
114,000
|
0,040
|
0,960
|
0,010
|
0,245
|
124,000
|
0,002
|
0,998
|
0,001
|
0,363
|
134,000
|
0,000
|
1,000
|
0,000
|
0,485
|
Заключение: Результаты испытаний: электродвигатели
соответствуют требованиям по средней продолжительности горения.
Руководитель
ИЦ «ПЭМЗ-электро» Д.В. Айдаров
Руководитель
группы испытаний ИЦ «ПЭМЗ-электро» А. А. Телепова
2. Пример
обработки результатов испытаний для невосстанавливаемого объекта испытаний
Постановка
задачи
На испытаниях
находится N = 56 объектов с восстановлением. В течение периода Т =
600 часов регистрируются моменты времени отказов элементов (таблица 8).
Предполагается, что отказавшие элементы заменяют идентичными по надежности
элементами. Требуется определить показатели надежности элемента,
характеризующие время его работы между соседними отказами: Т, P(t), Q(t), f(t), λ(t).
Испытания
проводятся по плану [NRT], согласно которому одновременно начинают
испытания N=56
объектов, отказавшие во время испытаний объекты заменяют новыми, испытания
прекращают при истечении времени испытаний или наработки T.
Обработка
статистических данных предусматривает их группировку в 10 частичных интервалах
(классах). Уровень значимости принять равным 0,05.
Таблица 8 –
Время между отказами элементов
Номер
элемента
|
Моменты
отказа на периоде времени 600 часов
|
1
|
104; 93; 107; 118; 89;
86
|
2
|
86; 98; 116; 82; 110;
103
|
3
|
106; 112; 94; 83; 98;
91
|
4
|
94; 106; 102; 107; 89;
91
|
5
|
117; 96; 103; 117; 83
|
6
|
94; 92; 107; 108; 106
|
7
|
90; 96; 84; 107; 99; 99
|
8
|
104; 106; 99; 103; 94;
82
|
9
|
99;95; 106; 119; 111
|
10
|
109; 118; 104; 95; 98
|
2.2
Вычисление основных характеристик выборки
Основными
числовыми характеристиками выборочной совокупности являются: выборочное
среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое (или
стандартное) отклонение, наименьшее и наибольшее значения, размах выборки,
асимметрия, эксцесс.
Значения
вычисляемых характеристик расположим в ячейках с F12 по F19, как показано в таблице
9.
Таблица 9 –
Расчет выборочных характеристик
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
1
|
104
|
93
|
107
|
118
|
89
|
86
|
2
|
86
|
98
|
116
|
82
|
110
|
103
|
3
|
106
|
112
|
94
|
83
|
98
|
4
|
94
|
106
|
102
|
107
|
89
|
91
|
5
|
117
|
96
|
103
|
117
|
83
|
|
6
|
94
|
92
|
107
|
108
|
106
|
|
7
|
90
|
96
|
84
|
107
|
99
|
99
|
8
|
104
|
106
|
99
|
103
|
94
|
82
|
9
|
99
|
95
|
106
|
119
|
111
|
|
10
|
109
|
118
|
104
|
95
|
98
|
|
11
|
|
|
|
|
|
|
12
|
Выборочное среднее
|
|
|
100,0892857
|
13
|
Выборочная дисперсия
|
|
|
100,7373377
|
14
|
Выборочное ср. квадр.
отклонение
|
|
10,03679917
|
15
|
Наименьшее значение
|
|
|
82
|
16
|
Наибольшее значение
|
|
|
119
|
17
|
Размах выборки
|
|
|
|
37
|
18
|
Асимметрия
|
|
|
|
0,012585618
|
19
|
Эксцесс
|
|
|
|
|
-0,711512555
|
Вычислим
числовые характеристики выборочной совокупности по формулам:
Выборочное
среднее: F12
= CРЗНАЧ(A1:F10);
Выборочная
дисперсия: F13
= ДИСП(A1:F10);
Выборочное
среднее квадратическое отклонение:
F14 = СТАНДОТКЛОН(A1:F10);
Наименьшее
значение: F15
= МИН(A1:F10);
Наибольшее
значение: F16
= МАКС(A1:F10);
Размах
выборки: F17
= F16-F15;
Асимметрия: F18 = СКОС(A1:F10);
Эксцесс: F19 = ЭКСЦЕСС(A1:F10).
2.3
Формирование статистического ряда и графическое представление данных
Для
наглядного представления статистических данных воспользуемся группировкой.
Группировка данных производится в той же последовательности, что и в пункте
1.6.2 данной работы.
Для
выборочной совокупности (таблица 8) результаты группировки представим в таблице
10. Сначала укажем объем выборки, максимальное и минимальное значение, размах
выборки, количество групп и шаг:
А22 = 56, В22
=120, С22 = 80, D22 = B22 – C22, E22 =10, F22 = D22/E22
В этой таблице
колонки В и С заполним левыми и правыми границами соответственно. Колонку D заполним по формуле:
D25 = (B25+C25)/2, с последующим
копированием в ячейки D26:D34.
Таблица 10 – Группировка
статистических данных
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
G
|
H
|
21
|
n
|
Xmax
|
Xmin
|
R
|
k
|
h
|
|
|
22
|
56
|
120
|
80
|
40
|
10
|
4
|
|
|
23
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
|
Группа
|
Левая
граница
|
Правая
граница
|
Середина
|
Частота
|
Относ.
частота
|
Накоп.
частота
|
Накоп.
относ. частота
|
25
|
1
|
80
|
84
|
82
|
5
|
0,0892
|
5
|
0,0892
|
26
|
2
|
84
|
88
|
86
|
2
|
0,0357
|
7
|
0,125
|
27
|
3
|
88
|
92
|
90
|
6
|
0,1071
|
13
|
0,2321
|
28
|
4
|
92
|
96
|
94
|
9
|
0,1607
|
22
|
0,3928
|
29
|
5
|
96
|
100
|
98
|
7
|
0,125
|
29
|
0,5178
|
30
|
6
|
100
|
104
|
102
|
7
|
0,125
|
36
|
0,6428
|
31
|
7
|
104
|
108
|
106
|
10
|
0,1785
|
46
|
0,8214
|
32
|
8
|
108
|
112
|
110
|
4
|
0,0714
|
50
|
0,8928
|
33
|
9
|
112
|
116
|
114
|
1
|
0,0178
|
51
|
0,9107
|
34
|
10
|
116
|
120
|
118
|
5
|
0,0892
|
56
|
1
|
Для
заполнения колонки Е выделим ячейки Е25:Е34 и воспользуемся функцией ЧАСТОТА,
указав массив статистических данных и массив правых границ интервалов: { =
ЧАСТОТА (А1:F10;
C25:C34)}
Одновременным
нажатием клавиш заполним остальные выделенные ячейки.
Колонку F заполним с помощью
формулы:
F25 = E25/$A$22, с последующим
копированием в ячейки F26:F34
Колонку G заполним с помощью
формулы:
G25 = E25, G26 = G25 + E26 с последующим
копированием в ячейки G27:G34
Колонку H заполним с помощью
формулы:
H25 = G25/$A$22, с последующим
копированием в ячейки H26:H34
Данные,
собранные в таблице 10 наглядно представим с помощью:
полигон
частот – графическая зависимость частот (относительных частот) от середины
интервалов (рисунок 9).
Рисунок 9 – Полигон
частот
кумуляты
частот – графическая зависимость накопленных частот (накопленных относительных
частот) от середины интервалов (рисунок 10).
Рисунок 10 –
Кумуляты частот
2.4
Подбор подходящего закона распределения вероятностей
Далее
рассмотрим некоторые известные распределения, такие как равномерное, нормальное
и гамма-распределение, с целью проверки подчиняется ли наше распределение
вероятностей заданному.
Проверка на
соответствие данных испытаний распределению производится перебором трех
распределений, указанных выше, включая заданное, а именно равномерное.
Чтобы иметь
полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры
этого распределения. Таким образом, математическое ожидание случайной величины t равно выборочной
средней, а среднее квадратическое отклонение случайной величины t – выборочному среднему
квадратическому отклонению. Указанные характеристики находятся в ячейках F12 и F14 соответственно.
Поместим эти значения в ячейки А2 и В2 соответственно (таблица 11).
Определим
параметры равномерного (a и b), нормального (m – математическое отклонение и σ – среднее
квадратическое отклонение), экспоненциального и гамма-распределения (α и
β) в соответствии с формулами:
, , , ,
B5 = 1/A2;
B8 = A2-В2*КОРЕНЬ(3);
B9 = А2+В2*КОРЕНЬ(3);
B12
= (A2/B2)^2;
B13
= B2^2/A2;
B16
= (A2/B2)^2;
B17
= B2^2/A2.
Таблица 11 –
Значения плотностей распределения
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
1
|
Матем. ожидание
|
Ср. кв. отклон.
|
|
|
|
|
2
|
100,0892
|
10,0367
|
|
|
|
|
3
|
|
|
|
|
|
|
4
|
Параметры экспоненциального распределения
|
|
|
|
|
5
|
λ
|
0,0100
|
|
|
|
|
6
|
|
|
|
|
|
|
7
|
Параметры равномерного распределения
|
|
|
|
|
8
|
а
|
82,7050
|
|
|
|
|
9
|
b
|
117,4735
|
|
|
|
|
10
|
|
|
|
|
|
11
|
Параметры нормального распределения
|
|
|
|
|
12
|
m
|
100,0893
|
|
|
|
|
13
|
σ
|
10,0367
|
|
|
|
|
14
|
|
|
|
|
|
|
15
|
Параметры гамма-распределения
|
|
|
|
|
16
|
α
|
99,4454
|
|
|
|
|
17
|
β
|
1,0065
|
|
|
|
|
18
|
|
|
|
|
|
|
19
|
Середина
|
Плотность относит. частот
|
Плотность экспоненц. распред.
|
Плотность нормал. распред.
|
Плотность гамма- распред.
|
Плотность равномер. распред.
|
20
|
82
|
0,0223
|
0,0044
|
0,0078
|
0,0076
|
0
|
21
|
86
|
0,0089
|
0,0042
|
0,0148
|
0,0156
|
0,0287
|
22
|
90
|
0,0267
|
0,0041
|
0,0240
|
0,0257
|
0,0287
|
23
|
94
|
0,0401
|
0,0039
|
0,0331
|
0,0349
|
0,0287
|
24
|
98
|
0,0312
|
0,0038
|
0,0389
|
0,0397
|
0,0287
|
25
|
102
|
0,0312
|
0,0036
|
0,0390
|
0,0383
|
0,0287
|
26
|
106
|
0,0446
|
0,0035
|
0,0334
|
0,0317
|
0,0287
|
27
|
110
|
0,0178
|
0,0033
|
0,0244
|
0,0229
|
0,0287
|
28
|
114
|
0,0044
|
0,0152
|
0,0145
|
0,0287
|
29
|
118
|
0,0223
|
0,0031
|
0,0081
|
0,0081
|
0
|
В ячейках В20:В29
вычислим плотности относительных частот как частное от деления относительных
частот (ячейки F25:F34) на шаг (ячейка $F$22) из таблицы 10.
Плотности
равномерного, нормального, экспоненциального и гамма-распределений
рассчитываются в соответствии с формулами:
С20 =
ЭКСПРАСП (А20;$B$5;ЛОЖЬ);
D20 = НОРМРАСП (А20; $B$12; $B$13; ЛОЖЬ);
E20 = ГАММАРАСП (А20; $B$16; $B$17; ЛОЖЬ).
F20 = ЕСЛИ(А20<$B$8; 0; ЕСЛИ(A20>=$B$9; 1/($B$9-$B$8); 0));
Затем
копируем их в блок ячеек С21:F21.
После чего
строим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее
распределений. Графическое изображение гистограммы кривых различных
распределений приведены на рисунках 11- 13.
Рисунок 11 –
Сглаживание гистограммы плотностью равномерного распределения
Рисунок 12 –
Сглаживание гистограммы плотностью нормального распределения
Рисунок 13 –
Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения
Рисунок 14 –
Сглаживание гистограммы плотностью экспоненциального распределения
Используя
критерий χ2, установим, верна ли принятая гипотеза о том, что
статистические данные подчиняются равномерному распределению, так, чтобы ошибка
не превышала заданного уровня значимости α (вероятность того, что будет
отвергнута правильная гипотеза).
Для
применения критерия χ2 необходимо, чтобы частоты ni, соответствующие каждому
интервалу, были не меньше 5. Для этого при необходимости объединим рядом
стоящие интервалы, а их частоты суммируем. Далее вычислим следующую сумму:
,
где pi – теоретическая
вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [ai-1,ai].
Предположим,
что случайная величина t имеет функцию распределения F(t), поэтому pi = F(ai) – F(ai-1).
Образец
расчетов по предыдущей формуле для трех распределений представлен в таблице 6.
В колонке А
содержатся левые, а в колонке В – праве границы интервалов. В колонке С
находятся соответствующие частоты. В колонке D рассчитываются
теоретические вероятности в зависимости от вида распределения.
Для
экспоненциального распределения:
D35 = ЭКСПРАСП (B35; $B$5; ИСТИНА) – ЭКСПРАСП
(А35; $B$5;
ИСТИНА);
Для
равномерного распределения:
D65 = ЕСЛИ (B65<$B$8;
0; ЕСЛИ (B65<=$B$9; (B24-$B$8) / ($B$6-$B$9); 1)) – ЕСЛИ (A24<$B$8; 0;
ЕСЛИ (A24<=$B$9; (A24-$B$8) / ($B$6-$B$9); 1));
Для
нормального распределения:
D45 = НОРМРАСП (В45; $B$12; $B$13; ИСТИНА) – НОРМРАСП
(А45; $B$12;
$B$13; ИСТИНА);
Для
гамма-распределения:
D55 = ГАММАРАСП (В55; $B$16; $B$17; ИСТИНА) – ГАММАРАСП
(А55; $B$16;
$B$17; ИСТИНА).
В колонке Е
рассчитываются слагаемые соотношения по формуле:
Е35 = (С35-56*D35)^2/(56*D35), которая копируется в
другие ячейки колонки Е.
После чего
для каждого рассмотренного распределения определим итоговые суммы:
Е43 = СУММ(E35:E42);
Е53 = СУММ(E45:E52);
Е63 = СУММ(Е55:Е62);
Е73 =
СУММ(Е65:Е72).
Которые равны
соответственно 349,8344; 14,8995; 15,1459; 16,7324.
Гипотеза о
виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение χ2выч
достаточно мало, а именно не превосходит критического значения χ2кр,
которое определяется по распределению χ2 в зависимости от
заданного уровня значимости α и числа степеней свободы r=k’ – s – 1.
где k’ – количество интервалов
после объединения;
s – число неизвестных
параметров распределения, которые были определены по выборке.
В данном
примере r
= 7 – 2 – 1 = 5
Критическое
значение рассчитывается по формуле:
Е74 =
ХИ2ОБР(0,05;5), из таблицы 12 видно, оно равно 16,7496.
Поскольку 16,7324<16,7496,
то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют равномерное
распределение с параметрами a = 82,7050 и b = 117,4735 соответственно.
Таблица 12 –
Подбор распределения на основе критерия χ2
|
А
|
B
|
С
|
D
|
E
|
33
|
Левая граница
|
Правая граница
|
Частота
|
Вероятности
|
χ²
|
34
|
|
|
|
Экспоненциальное
распределение
|
|
35
|
80
|
84
|
5
|
0,0176
|
16,3293
|
36
|
84
|
92
|
8
|
0,0331
|
20,2945
|
37
|
92
|
96
|
9
|
0,01562
|
75,4446
|
38
|
96
|
100
|
7
|
0,01501
|
45,1229
|
39
|
100
|
104
|
7
|
0,01442
|
47,4663
|
40
|
104
|
108
|
10
|
0,01385
|
109,6166
|
41
|
108
|
116
|
5
|
0,02611
|
8,5589
|
42
|
116
|
120
|
5
|
0,01229
|
27,0014
|
43
|
Сумма
|
349,8344
|
45
|
|
|
|
Нормальное
распределение
|
|
46
|
80
|
84
|
5
|
0,0317
|
5,8201
|
47
|
84
|
92
|
8
|
0,1556
|
0,0590
|
48
|
92
|
96
|
9
|
0,1317
|
0,3576
|
49
|
96
|
100
|
7
|
0,1546
|
0,3175
|
50
|
100
|
104
|
7
|
0,1551
|
0,3280
|
51
|
104
|
108
|
10
|
0,1331
|
0,8698
|
52
|
108
|
116
|
5
|
0,1588
|
1,7057
|
53
|
116
|
120
|
5
|
0,03281
|
5,4419
|
54
|
Сумма
|
14,8995
|
55
|
|
|
|
Гамма-распределение
|
|
56
|
80
|
84
|
5
|
0,0310
|
6,1243
|
57
|
84
|
92
|
8
|
0,1652
|
0,1697
|
58
|
92
|
96
|
9
|
0,1388
|
0,1927
|
59
|
96
|
100
|
7
|
0,1576
|
0,3788
|
60
|
100
|
104
|
7
|
0,1522
|
0,2729
|
61
|
104
|
108
|
10
|
0,1265
|
1,1969
|
62
|
108
|
116
|
5
|
0,1497
|
1,3685
|
63
|
116
|
120
|
5
|
0,03281
|
5,4421
|
64
|
Сумма
|
15,1459
|
65
|
|
|
|
Равномерное
распределение
|
|
66
|
80
|
84
|
5
|
0,03727
|
4,0719
|
67
|
84
|
92
|
8
|
0,2300
|
1,8522
|
68
|
92
|
96
|
9
|
0,1150
|
1,0151
|
69
|
96
|
100
|
7
|
0,1150
|
0,0482
|
70
|
100
|
104
|
7
|
0,1150
|
0,0482
|
71
|
104
|
108
|
10
|
0,1150
|
1,9643
|
72
|
108
|
116
|
5
|
0,2300
|
4,8254
|
73
|
116
|
120
|
5
|
0,0423
|
2,9070
|
74
|
Сумма
|
16,7324
|
75
|
Критическое
значение критерия
|
16,74960237
|
2.5
Определение показателей надежности объекта испытаний
После
подтверждения гипотезы о виде закона распределения, определим показатели
надежности объекта.
Таким
образом, было установлено, что случайная величина принадлежит множеству с
плотностью распределения вероятностей:
Найдем
основными показатели надежности. Они вычисляются по формулам:
В78 = ($B$6-А50)/($B$6-$B$5);
С78 = 1 – В78;
Плотность
распределения и интенсивность отказа рассчитаем по следующим формулам:
D78 = 1/($B$9-$B$8);
E78 = D78/B78.
Далее
скопируем формулы в ячейки В79:В84, С79:С84, D79:D84, E79:E84 соответственно.
В результате
будет получена таблица вычисленных ранее значений (таблица 13) и построены их
графики (рисунки 14,15,16).
Таблица 13 –
Значения показателей надежности объекта испытаний
|
А
|
B
|
C
|
D
|
E
|
78
|
82,7050
|
1
|
0
|
0,028761673
|
0,028761673
|
79
|
88
|
0,847708081
|
0,152291919
|
0,028761673
|
0,033928747
|
80
|
93
|
0,703899717
|
0,296100283
|
0,028761673
|
0,040860469
|
81
|
98
|
0,560091352
|
0,439908648
|
0,028761673
|
0,051351753
|
82
|
103
|
0,416282988
|
0,583717012
|
0,028761673
|
0,069091636
|
83
|
108
|
0,272474623
|
0,727525377
|
0,028761673
|
0,105557253
|
84
|
113
|
0,128666259
|
0,871333741
|
0,028761673
|
0,223537026
|
85
|
|
|
|
|
|
Рисунок 14 –
График вероятности безотказной работы и вероятности отказа
Рисунок 15 –
График плотности распределения вероятности
Рисунок 16 –
График интенсивности отказа
Поставленные перед нами
цели курсовой работы по определению фактических показателей надежности
невосстанавливаемого объекта испытания – электродвигателя однофазного коллекторного переменного тока
типа ДК 60 – 40 – выполнены.