-11,963
|
-19,197
|
-8,653
|
1,416
|
-16,534
|
0,409
|
-2,982
|
-12,845
|
-19,371
|
-16,969
|
-9,076
|
-2,590
|
0,527
|
-20,332
|
-5,936
|
-12,820
|
-7,841
|
-6,679
|
-20,562
|
-16,534
|
0,525
|
-21,010
|
-7,953
|
-10,732
|
-1,374
|
-12,326
|
-19,110
|
-16,415
|
-16,538
|
-1,626
|
-9,033
|
-6,583
|
0,031
|
-9,910
|
-4,721
|
-2,234
|
-2,665
|
-10,179
|
-9,175
|
-0,370
|
-3,627
|
0,568
|
-1,1395
|
-21,990
|
-5,854
|
1,330
|
-8,380
|
-16,095
|
-12,347
|
-4,892
|
-9,130
|
-3,684
|
-2,105
|
-15,098
|
-6,647
|
-5,758
|
Теоретическая часть
1.Основные непрерывные распределения
1). Равномерное распределение
СВ Х распределена равномерно на отрезке [a; b] (X~R(a; b)) ,
если плотность вероятности имеет вид:
mx=
(a+b)/2
Dx
= (b-a)2/12 =σx2
σx=(b-a)/2· √3
2) Экспоненциальное распределение
λe-λe,
x ≥ 0
fx(x)=
0, x < 0
1-e-λx , x ≥ 0
Fx
(x)=
0, x < 0
M[X]=
∫x fx(x) dx = ∫x λe-λxdx = 1/x∫te-tdt
= 1/x
mx
=1/λ
D[X]=
M[X2] – (mx)2 = ∫x2 λe-λxdx-
(1/x)2
Dx=
1/λ2
σ
x= √Dx= 1/x
Этим распределением описываются многие важные величины: время
безотказной работы изделия, длина промежутка времени между звонками на
телефонной станции, время обслуживания клиента в системе массового
обслуживания. При этом параметр λ имеет следующий смысл: если х- время
обслуживания клиента (x ≥ 0), то mx=M[X]
среднее время обслуживания клиента
mx=1/λ; λ=1/mx – ожидаемое количество обслуживания клиентов в единицу времени.
T~E(λ)
P(T1 ≤
T ≤ T2) = FT(T2) – FT(T1) = (1-exp{-λ ·T2}) – (1-exp{-λ ·T1}) =
=
exp{-λ ·T1} – exp{-λ ·T2}
0
≤ T1 < T2
3).Нормальное (гауссовское) распределение.
CВ Х имеет нормальное распределение с
параметрами а и D>0, если ее плотность вероятности имеет следующий
вид
fx(x)=(1/√2π·D)
exp{-(x-a)2/ D}
X~N(a;
D)
M[X]=
mx= a
D[X]=
Dx= σx2= D
X~N(mx; σx2) σ1 σ2
σ2>
σ1
m2>
m1
Функция распределения нормальной СВ имеет следующий вид:
Fx(x)= Ф((x- mx)/ σx), где
Ф(z)= (1/√2π)∫exp{-x2/2}dx – интеграл вероятности или функция Лапласа
Замечание: часто вместо функции Ф(z) используется функция
Ф0(z)= (1/√2π)∫exp{-x2/2}dx
Связь между функциями следующая:
0,5+ Ф0(z), если z > 0
Ф(z)=
0,5– Ф0(z), если z
< 0
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
1)
0 ≤ Ф(z) ≤ 1
2)
Ф(z)
возрастает
3)
Ф(z)=1,
если z > 5
4)
Ф(z)=0, если z < -5
Вычисление вероятности попадания гауссовской
величины в отрезок
X~N(mx;
σx2)
Fx(x)
= Ф((x- mx)/ σx) = Fx(x)= Ф((x- mx)/
√Dx)
P(α
≤ X ≤ β) = Fx(β) – Fx(α) = Ф((β
- mx)/ σx) – Ф((α - mx)/
σx)
Замечание: пусть mx=0, σx2=1, тогда Х имеет распределение
X~N(0;
1) – стандартное нормальное
распределение
Fx(x) = Ф(x)
Следовательно функция Лапласа есть распределение стандартной нормальной
СВ
P(α ≤ X ≤ β) = Ф(β) – Ф(α) – для X~N(0; 1)
2. Распределений хи-квадрат.
Пусть Uk, k= 1,n, - набор из n независимых нормально
распределенных СВ, Uk~N(0; 1). Тогда СВ
Хn=∑Uk2 имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы, что обозначается как Хn~χ2(n).
Число χ2(n) находится по таблице распределения χ2.
Это число зависит от степеней свободы n и от уровней значимости α.
Стандартный α=0,05
3.Выборка
Х1, Х2, …, Хn независимые
одинаково распределенные СВ.
Такая последовательность называется выборкой объема n.
Пусть в результате конкретного опыта СВ Х приняла какое-то значение
Х1→х1, Х2→х2, …, Хn→хn
Хk – реализация СВ Хk
в k-м опыте k=1+n
{ x1,
x2,
…, xn} – реализация выборки объема n
По условию СВ Х1, Х2, …, Хn,
которые называются элементами выборки одинаково распределены, т.е. функция
распределения Fx (x) = Fx
(x) для
всех k, i = 1,…,n
Fx (x) = F1 (x) = F(x) – функция распределения любого элемента
выборки
Выборка соответствует закону распределения F(x)
f(x)= dF(x)/dx – плотность вероятности, которой
соответствует выборка.
M[Xk]
= M[X1] =∫x f(x)dx = a =const
D[Xk]
= D[X1] =∫x2 f(x)dx - a2 = σ2
= const
(a;
σ2 ) – параметры
выборки
Оценивание математического ожидания и дисперсии по выборке
{ x1,
x2,
…, xn} – реализация выборки.
Оценкой мат. ожидания а по этой выборке называется величина:
Xn
= 1/n ∑xk – выборочное
среднее
Реализацией выборки называется неслучайный вектор zn = col(x1,…, xn), компоненты которого являются реализации
соответствующих элементов выборки Xi, i=1,n.
Реализацию выборки можно так же рассматривать как последовательность
x1,…, xn из n реализаций одной и той же СВ Х, полученных в
серии из n независимых одинаковых опытов, проводимых в
одинаковых условиях.
Оценкой параметра называется его приближенное значение, построенное по
выборке наблюдений.
Т.о. Хn= аn – оценка для а
Замечание: можно показать, что оценка Хn
обладает следующим свойством:
1)
Хn→a при n
→ ∞ (состоятельность оценки Хn)
2)
M[Xn]=a (несмещенность оценки)
Выборочной дисперсией называется величина
Sn2=
(1/(n-1)) ∑(xk – Xn)2
Выборочная дисперсия является оценкой для дисперсии
Sn2=σ2
σn = √ Sn2 = Sn – оценка среднего квадратичного отклонения.
Выборочная (эмпирическая) функция
распределения.
Упорядочить элементы выборки по возрастанию
Мn(A) – случайное число появлений события A в
серии из n испытаний
Wn(A) = Мn(A)/n – частота события А в серии из n испытаний
Рассмотрим выборку Zn, порожденную СВ Х с функцией распределения Fx(x). Определим для каждого х Є R1 событие
Aх=
{X ≤ x}, для
каждого P(Aх) = Fx(x). Тогда Мn(Aх) – случайное число элементов выборки Zn, не превосходящих х
Определение. Частота Мn(Aх) события Aх как функция х Є R1 , называется выборочной (эмпирической)
функцией распределения СВ Х и обозначается
Fn(x)
= Мn(Aх).
Для каждого фиксированного х Є R1 СВ Fn(x) является статистикой, реализациями которой
являются числа 0, 1/n, 2/n,…,n/n, и при этом
P{Fn(x) = k/n}= P{Мn(Aх)=k}, k= 1,n.
Любая реализация Fn(x) выборочной функции Fn(x) является ступенчатой функцией. В точках х(1)<…<
х(n), где х(k) – реализация порядковой статистики X(k), функция Fn(x) имеет скачки величиной 1/n и
является непрерывной справа.
Свойства.
1)
M [Fn(x)]= F(x), для любого х Є R1 и любого n ≥ 1
2)
Sup| Fn(x)- F(x)| → 0 при n
→ ∞
3)
dn(x) = M[(Fn(x)-
F(x))2] = F(x)(1-F(x))/n ≤ 1/4n
4)
(Fn(x)- F(x))/√dn(x) →U при n → ∞, где СВ U имеет
распределение
N(0; 1)
Гистограмма
1)
Построить вариационный ряд
выборки, т.е. элементы выборки упорядочить по возрастанию {x1,…, xn} → {x1,…, xn}
х(1)<…< х(n)
Промежуток Δ= [x1, xn] называется размахом выборки.
Все наблюдения принадлежат этому промежутку.
2)Группировки выборки.
Для этого размах выборки делится на k промежутков одинаковой длины.
|Δi|
- длина промежутка Δi
|Δ1|=|Δ2|=…=|Δn|=|Δ|/k
nm – число наблюдений попавших в интервал
Группировкой выборки называется набор следующего вида.
(Δm; nm) , m=1,…,k – статистический ряд
2)
Построение гистограммы
Для каждого промежутка Δm находится частота
Pm*=
nm/n
Над каждым промежутком Δm строится прямоугольник, основанием которого
является этот промежуток, а высота равна
hm= Pm*/ |Δm|
Гистограммой называется кусочно-постоянная функция, образованная
верхними основаниями построенных прямоугольников.
Гистограмма является оценкой плотности вероятности, построенной по
выборке.
4.Понятие о точечном и интервальном оценивании.
Свойства точечных оценок: несмещенность и состоятельность.
Оценкой параметра называется его приближенное значение, построенное по
выборке наблюдений (θ)
Точечной (выборкой) оценкой неизвестного параметра распределения
θ Є Θ называется произвольная статистика
Θ(Zn), построенная по выборке Zn и принимающая значение в множестве Θ.
Свойства:
1) Оценка θ(Zn) параметра θ называется состоятельной,
если она сходится по вероятности к θ, т.е. θ(Zn) → θ при n → ∞ для любого θ Є Θ.
2) Оценка θ(Zn) параметра θ называется несмещенной,
если ее МО равно θ, т.е. M[θ(Zn)] = θ для любого θ Є Θ.
5.Метод моментов. Метод максимального
правдоподобия.
Оценкой максимального правдоподобия (МП-оценкой) параметра θ Є Θ называется статистика θ(zn), максимизирующая для каждой реализации Zn
функцию правдоподобия, т.е.
θ(zn) = arg max
L(zn, θ)
Способ построения МП-оценки называется методом максимального
правдоподобия.
Пусть vi, i=1,s, - выборочные начальные моменты. Рассмотрим
систему уравнений
vi (θ)= vi, i=1,s
и предположим, что ее можно решить относительно параметров θ1,…,
θs, т.е. найти функции θi=φi(v1,…, vs), i=1,s
Решением полученной системы уравнений θi=φi(v1,…, vs), i=1,s, называется оценкой параметра θ,
найденной по методу моментов, или ММ-оценкой.
6. Выборочные моменты
Пусть имеется выборка Zn=col(x1,.., xn) которая порождена СВ Х с функцией
распределения Fx(x).
Для выборки Zn объема n выборочными начальными и центральными
моментами порядка r СВ Х называются следующие СВ:
vr(n) = 1/n∑(xk)r, r =1,2,….;
μ r(n) = 1/n∑(xk- vr(n))r, r =2,3,….;
Выборочным средним и выборочной дисперсией СВ Х называются
соответственно:
mX(n)= v1(n) = 1/n∑xk
dX(n)= μ 2(n) = 1/n∑(xk- mX(n))2
7.Проверка гипотезы о законе распределения
выборки по критерию согласия К. Пирсона (χ2 - хи-квадрат)
СВ Х имеет распределение χ2 с r
степенями свободы. Если ее можно представить в следующем виде Х = ∑Хi2 , где Хi~
N(0; 1)
Х= χ2(r)
Плотность вероятности этой СВ имеет следующий график:
Критическая и доверительная область
Х= χ2(r)
Критической областью значений СВ Х называется промежуток на
вещественной оси, в которой СВ Х попадает с некоторой малой вероятностью
α.
Это число α называется уровнем значимости критической области.
S – критическая область
P(XЄS) = α<<1
S=R’- S – доверительная область
P(XЄS) = 1-α – близка к 1
Для задания критической области S распределения Пирсона поступают следующим
образом:
P(X
≥ χкр2(r)) =
α
S = [χкр2(r); +∞)
P(XЄS) = α – по построению
S = [0, χкр2(r)) –
доверительная область
Замечание: число χ2(r) находится по таблице распределения χ2.
Это число зависит от степеней свободы r и от уровней значимости α.
Стандартный α=0,05
Алгоритм критерия Пирсона
1) Формулировка гипотезы
Н0: имеющаяся выборка соответствует закону распределения F(x)
2) Производится группировка выборки и вычисление частот {Pm*}, m=1÷k
3) Для каждого подынтервала Δm вычисляется
вероятность попадания реализации выборки в этот промежуток на основе принятой
гипотезы
Δm=[zm; zm+1]
Pm= F(zm+1) – F(zm); m=1÷k
4)
Вычисляется статистика
критерия Пирсона
gn=(n∑(Pm+
Pm*)2/ Pm)+n(P0+ Pm+1),
где P0+
Pm+1=1-∑
Pm, n-объем выборки
Теорема. Если проверяемая гипотеза Н0- верна, то СВ gn – называемая статистикой критерия Пирсона имеет распределение
gn ~ χ2(r)
r=k+n1- n2-1
k – число интервалов
n1 – число дополнительных интервалов
n2 – число неизвестных параметров распределения F(x),
которые были заменены их оценкой.
5)
Принятие решения.
Строится критическая область S
S
= [χкр2(r); +∞)
Если gn Є S, то
гипотеза отвергается
Если gn Є S, то
гипотеза принимается, как не противоречащая данным
Практическая часть
Вариант № 13
Исходные данные:
набор наблюдений
-11,963
|
-19,197
|
-8,653
|
1,416
|
-16,534
|
0,409
|
-2,982
|
-12,845
|
-19,371
|
-16,969
|
-9,076
|
-2,590
|
0,527
|
-20,332
|
-5,936
|
-12,820
|
-7,841
|
-6,679
|
-16,534
|
0,525
|
-21,010
|
-7,953
|
-10,732
|
-1,374
|
-12,326
|
-19,110
|
-16,415
|
-16,538
|
-1,626
|
-9,033
|
-6,583
|
0,031
|
-9,910
|
-4,721
|
-2,234
|
-2,665
|
-10,179
|
-9,175
|
-0,370
|
-3,627
|
0,568
|
-1,1395
|
-21,990
|
-5,854
|
1,330
|
-8,380
|
-16,095
|
-12,347
|
-4,892
|
-9,130
|
-3,684
|
-2,105
|
-15,098
|
-6,647
|
-5,758
|
1.Найдем оценку математического
ожидания и выборочную дисперсию.
M[X]= X= 1/n · ΣXk = 1/56 · [-11,963+(-19,371) +…+ (-5,758)]= -8,661
D[X]=
S2= 1/n · Σ(Xk – X) 2= 1/56 · [(-11,963
– (-8,661)) 2 + (-19,371 – (-8,661))2 +…+
+
(-5,758 – (-8,661)) 2 = 46,075
M[X]=
-8,661
D[X]= 46,075
2. Построение графика выборочной
функции распределения и гистограммы.
1). Построим вариационный ряд выборки
-21,990
|
-16,969
|
-12,845
|
-9,910
|
-7,953
|
-5,758
|
-2,590
|
0,031
|
-21,010
|
-16,538
|
-12,820
|
-9,175
|
-7,841
|
-4,892
|
-2,234
|
0,409
|
-20,562
|
-16,534
|
-12,347
|
-9,130
|
-6,679
|
-4,721
|
-2,105
|
0,525
|
-20,332
|
-16,534
|
-12,326
|
-9,076
|
-6,647
|
-3,684
|
-1,626
|
0,527
|
-19,371
|
-16,415
|
-11,963
|
-9,033
|
-6,582
|
-3,627
|
-1,395
|
0,568
|
-19,197
|
-16,095
|
-10,732
|
-8,653
|
-5,936
|
-2,982
|
-1,374
|
1,330
|
-19,110
|
-15,098
|
-10,179
|
-8,380
|
-5,854
|
-2,665
|
-0,370
|
1,416
|
2). Вычислим выборочные функции распределения
F(x) = mx/n,
mx – количество наблюдений меньших или равных числа x
F(-21,99)=1/56=0,02
F(-21,01)=2/50=0,04
……………………….
F(1,33)=49/50=0,98
F(1,416)=50/50=1
3.Построение гистограммы.
1).m – номер интервала , m=1,…,k
k – число интервалов
nm – число наблюдений попавших в каждый интервал
Pm* = nm /n – частота
|∆m| - длина каждого интервала
hm = Pm*/|∆m| - высота столбца
2). Группировка выборки
K=8
|∆1|=|∆2|=…=|∆k|=2,926
Статистический ряд (∆m; nm), m=1,…,k
([-21,99; -19,065]; 7), m= 1
((-19,065; -16,139]; 5), m= 2
((-16,139; -13,213]; 2), m= 3
((-13,213; -10,287]; 6), m= 4
((-10,287; -7,361]; 10), m= 5
((-7,361; -4,436]; 8), m= 6
((-4,436; -1,51]; 8), m= 7
((-1,51; 1,416];10), m= 8
3).Найдем частоты для каждого интервала
P1*= 0,125
P2*= 0,09
P3*= 0,036
P4*= 0,107
P5*= 0,179
P6*= 0,143
P7*= 0,143
P8*= 0,179
4).Найдем высоты столбцов гистограммы
h1= 0,043
h2= 0,03
h3= 0,012
h4= 0,037
h5= 0,061
h6= 0,049
h7= 0,049
h8= 0,061
5). H0 : имеющаяся выборка соответствует закону распределения R[a; b].
4. 1). Находим
a= -21,99
b= 1,416
2). Найдем вероятности попадания СВ в интервалы
P(XЄ∆1)= P(XЄ∆2)= ...= P(XЄ∆k)= 0,125
P(XЄ∆0)= (X Є (-∞; -21,99))= 0
P(XЄ∆k+1)= (X Є (1,416; +∞))= 0
3). Статистика критерия Пирсона
gn=(nΣ(Pm- Pm*)2/ Pm) + n(P0 + Pk+1)
g56= 7,143
5. Принятие решения
χα2(r) – квантиль распределение хи-квадрат уровня α с числом степеней свободы r.
r = k+ n1– n2– 1
k – количество интервалов
n1 – число дополнительных интервалов
n2 – число неизвестных параметров закона распределения, для
которых были сделаны оценки
r = 5
χ0,952(5)= 11,07 (по
таблице)
Доверительная область [0; 11,07]
7,143 Є [0; 11,07] – гипотеза H0 принимается с вероятностью 0,95
χ0,92(5)=
9,24 (по таблице)
Доверительная область [0; 9,24]
7,143 Є [0; 9,24] – гипотеза H0 принимается с вероятностью 0,9
6. Найдем интервал, в который СВ
X попадает с вероятностью 0,99
P(∆1≤ X ≤ ∆2)= 0,99
∆1 и ∆2 Є [-21,99;
1,416]
(∆1- (-21,99))/(1,416-(-21,99)) –
(∆2- (-21,99))/(1,416-(-21,99))=0,99
∆1- ∆2=23,172
если ∆1= -21,99, тогда ∆2=
1,182
СВ Х попадает в [-21,99; 1,182] с вероятностью 0,99
Список использованной литературы
1.
Конспект лекций по
курсу ТВиМС
2.
Теория вероятностей и
математическая статистика. А.И. Кибзун и др. М. Физматлит 2005