Структура сходящихся последовательностей
Последовательность, у которой существует предел,
называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется
расходящейся.
Определение: Последовательность {xn}
называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность
{xn-а} является бесконечно малой. При этом число а называется
пределом последовательности {xn}.
В соответствии с этим определением всякая бесконечно
малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.
Можно, также, дать еще одно определение сходящейся
последовательности: Последовательность {xn} называется сходящейся,
если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что при n³N все элементы xn этой
последовательности удовлетворяют неравенству:
|xn-a|<e.
При этом число а называется пределом последовательности.
Некоторые свойства сходящихся
последовательностей:
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один
предел.
Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности
{xn}. Тогда, используя специальное представление для элементов xn
сходящейся последовательности {xn}, получим xn=а+an, xn=b+bn, где an
и bn – элементы бесконечно малых последовательностей {an} и {bn}.
Вычитая данные соотношения, найдем an-bn=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {an-bn} имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все
элементы бесконечно малой последовательности {an} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема
доказана.
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть {xn} - сходящаяся последовательность
и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:
xn=а+an,
где an- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая
последовательность {an} ограничена (по теореме: Бесконечно малая
последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех
номеров n справедливо неравенство |an|£А. Поэтому | xn | £ |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность
последовательности {xn}. Теорема доказана.
Ограниченная последовательность может и не быть
сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не
является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому
числу а, то каждая из последовательностей {xn-a} и {xn+1-a}
являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn-a)
– (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы бесконечно
малой, что невозможно т.к. |xn– xn+1| = 2 для любого
номера n.
ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {хn}
и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен
сумме пределов последовательностей {хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы
последовательностей {хn} и {yn}. Тогда:
xn=а+an, yn=b+bn,
где {an} и {bn) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn
+ yn) - (а + b) =an+bn.
Таким образом, последовательность {(хn + yn)
- (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn + yn}
сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {хn}
и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен
разности пределов последовательностей {хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно
пределы последовательностей {хn} и {yn}.Тогда:
xn=а+an, yn=b+bn,
где {an} и {bn) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn
- yn) - (а - b) =an-bn.
Таким образом, последовательность {(хn - yn)
- (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn - yn}
сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {хn}
и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен
произведению пределов последовательностей {хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы
последовательностей {хn} и {yn}, то xn=а+an, yn=b+bn
и xn×yn=a×b+a×bn+b×an+an×bn. Следовательно,
xn×yn-а×b=a×bn+b×an+an×bn.
(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно
малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a×bn+b×an+an×bn} бесконечно малая, и поэтому последовательность {xn×yn-а×b} тоже бесконечно малая, а значит
последовательность {xn×yn} сходится и имеет своим пределом число а×b. Теорема доказана.
ЛЕММА: Если последовательность {yn} сходится и имеет отличный от
ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является
ограниченной.
Доказательство: Пусть . Так как b¹0, то e>0. Пусть N – номер, соответствующий этому e, начиная с которого выполняется неравенство:
|yn-b|<e или |yn-b|<
из этого неравенства следует, что при n³N выполняется неравенство |yn|>. Поэтому при n³N имеем . Следовательно, начиная с этого номера N, мы
можем рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена. Лемма
доказана.
ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn}
и {yn} при условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть
сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов
последовательностей {xn} и {yn}.
Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с
некоторого номера N, элементы последовательности {yn} отличны от
ноля и последовательность ограничена. Начиная с этого номера, мы и
будем рассматривать последовательность . Пусть а и b – пределы последовательностей {xn}
и {yn}. Докажем, что последовательность бесконечно малая. В самом деле, так
как xn=а+an, yn=b+bn, то
.
Так как последовательность ограничена, а последовательность бесконечно мала, то
последовательность бесконечно
малая. Теорема доказана.
Итак, теперь можно сказать, что арифметические
операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же
арифметическим операциям над их пределами.
ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {xn},
начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству xn³b (xn£b), то и предел а этой последовательности
удовлетворяет неравенству а³b
(a£b).
Доказательство: Пусть все элементы xn, по крайней мере
начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn³b. Предположим, что а<b. Поскольку а –
предел последовательности {xn}, то для положительного e=b-a можно указать номер N такой, что при n³N выполняется неравенство
|xn-a|<b-a.
Это неравенство эквивалентно
-(b-a)<xn-a<b-a
Используя правое из этих неравенств мы получим xn<b,
а это противоречит условию теоремы. Случай xn£b рассматривается аналогично. Теорема
доказана.
Элементы сходящейся последовательности {xn}
могут удовлетворять строгому неравенству xn>b, однако при этом
предел а может оказаться равным b. Например, если xn=1/n, то xn>0,
однако .
Следствие 1: Если элементы xn и уn у
сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, начиная с
некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn £ уn, то их пределы удовлетворяют
аналогичному неравенству
.
Элементы последовательности {yn-xn}
неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что
.
Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {xn}
находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте.
Это выполняется, так как а£xn£b, то a£c£b.
ТЕОРЕМА: Пусть {xn} и {zn}- сходящиеся
последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с
некоторого номера, элементы последовательности {yn}удовлетворяют
неравенствам xn£yn£zn.
Тогда последовательность {yn} сходится и имеет предел а.
Доказательство: достаточно доказать, что {yn-a} является
бесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются
неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут
выполнятся также неравенства xn-а £ yn-а £ zn-а. Отсюда следует, что при n³N’ элементы последовательности {yn-a}
удовлетворяют неравенству
|yn-a| £ max {|xn-a|, |zn-a|}.
Так как и , то для любого e>0 можно указать номера N1 и N2
такие, что при n³N1 |xn-a|<e, а при n³N2 |zn-a|<e. Итак последовательность {yn-a}
бесконечно малая. Теорема доказана.
Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют
элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие
неравенства для пределов этих последовательностей.
ПРИМЕРЫ
1.
Последовательность сходится и имеет своим
пределом ноль. Ведь каково бы ни было e>0, по свойству Архимеда вещественных чисел существует такое натуральное
число ne, что ne>. Поэтому для всех n³ne, а это означает, что .
2.
Последовательность сходится и , что следует из того, что
,
и того, что .
ЗАДАЧИ
ЗАДАЧА
№ 1
Пусть числовая последовательность а1, а2,
а3, … удовлетворяет условию
(m, n = 1, 2, 3, … ),
тогда последовательность
,…
должна либо расходиться к , причем предел этой
последовательности будет равен ее нижней грани.
РЕШЕНИЕ:
Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно
рассмотреть случай, когда нижняя грань a конечна. Пусть e>0 и a+e. Всякое целое число n может быть
представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1. Полагая
единообразие а0=0, имеем:
an=aqm+r£am+am+…+am+ar=qam+ar,
ЗАДАЧА
№ 2
Пусть числовая последовательность а1, а2,
а3, … удовлетворяет условию
тогда существует конечный предел
,
причем
(n = 1, 2, 3, … ).
РЕШЕНИЕ:
Из неравенств 2am-1<a2m<2am+1
получаем:
(*)
Ряд
сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется
сходящимся рядом:
|a1|+2-1+2-2+2-3+…
запишем целое число n по двоичной системе:
n=2m+e12m-1+e22m-2+…+em (e1, e2, …, em = 0 или 1)
согласно предположению
.
Применяя теорему (1) для данных:
s0=0, s1=, sm-1=, sm=, …, pn0=0, pn1=, …, pn, m-1=,
, pn, m+1=0, …,
заключаем, что . Наконец, в силу (*) имеем:
.
ЗАДАЧА № 3
Если общий член ряда, не являющегося
ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то
частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним
пределами lim inf и lim sup.
РЕШЕНИЕ:
Нам достаточно рассмотреть случай,
когда частичные суммы s1, s2, …, sn, …
ограничены. Пусть ,
, l - целое
положительное число, l>2 и .
Разобьем числовую прямую на l
интервалов точками
-¥, m+d, m+2d, …, M-2d, M-d, +¥.
Выберем такое N, чтобы для n>N
выполнялось неравенство |sn-sn+1|<d. Пусть, далее, sn1
(n1>N) лежит в первом интервале и sn2 (n2>
n1) – в последнем. Тогда числа конечной последовательности не смогут “перепрыгнуть”
ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной d. Аналогично рассуждаем и в том
случае, когда последовательность будет не «медленно восходящей», а «медленно
нисхожящей».
ЗАДАЧА № 4
Пусть для последовательности t1,
t2, … , tn, … существует такая последовательность
стремящихся к нулю положительных чисел …, что для каждого n
.
Тогда числа t1, t2, … , tn, …лежат всюду
плотно между их нижним и верхним пределами.
РЕШЕНИЕ:
Существуют в сколь угодно большом
удалении конечные последовательности , произвольно медленно нисходящие от верхнего
предела последовательности к ее нижнему пределу.
ЗАДАЧА № 5
Пусть v1, v2,
… , vn, … - положительные числа, v1 £ v2 £ v3 …
Совокупность предельных точек последовательности
, …
заполняет замкнутый интервал (длина
которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу).
РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА № 6
Числовая последовательность,
стремящаяся к ,
имеет наименьший член.
РЕШЕНИЕ:
Какое бы число мы ни задали, слева
от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди
конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших.
ЗАДАЧА № 7
Сходящаяся последовательность имеет
либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой.
РЕШЕНИЕ:
При совпадении верхней и нижней граней
рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они
различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела
последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему,
члену последовательности.
ЗАДАЧА № 8
Пусть l1, l2,
l3, … , lm, … - последовательность положительных чисел и , тогда существует
бесконечно много номеров n, для которых ln меньше всех
предшествующих ему членов последовательности l1, l2, l3,
… , ln-1.
РЕШЕНИЕ:
Пусть задано целое положительное
число m и h – наименьшее из чисел l1,
l2, l3, … , lm; h>0. Согласно предположению в
рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем h. Пусть n – наименьший номер,
для которого ln<h. Тогда:
n>m;
ln<l1, ln<l2, …, ln<ln-1.
ЗАДАЧА № 9
Пусть l1, l2,
l3, … , lm, … - последовательность положительных чисел и , тогда существует
бесконечно много номеров n, для которых ln превосходит все следующие
за ним члены ln+1, ln+2, ln+3,…
ЗАДАЧА
№ 10
Пусть числовые последовательности
l1, l2,
l3, … , lm, … (lm>0),
s1, s 2,
s 3, … , s m, … (s1>0, sm+1>sm,
m=1, 2, 3, …)
обладают тем свойством, что
, .
Тогда существует бесконечно много
номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства
ln>ln+1,
ln>ln+2, ln>ln+3,
…
lnsn>ln-1sn-1,
lnsn>ln-2sn-2, … lnsn>l1s1,
РЕШЕНИЕ:
,…
Каждый невыступающий член lv заключается
(для v>n1) между двумя последовательными выступающими членами,
скажем nr-1<v<nr. Имеем последовательно:
,
значит
(*)
отсюда заключаем, что
Действительно, в противном случае , значит, в силу (*) и вся
последовательность
l1s1, l2s2, … были бы ограничены,
что противоречит предположению. Теперь пусть задано целое положительное число m
и h – наименьшее из чисел ,… ; h>0. Согласно предположению в
рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем h. Пусть k – наименьший
номер, для которого <h. Тогда:
k>m;
.
ЗАДАЧА № 11
Если числовая последовательность ,… стремится к и А превышает ее
наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько таких), n³1, что n отношений
все не больше А, а бесконечное множество отношений
,…
все не меньше А.
РЕШЕНИЕ:
Имеем . Пусть минимум последовательности
L0-0,
L1-A, L2-2A, L3-3A, …
Будет Ln-nA; тогда
Ln-u-(n-u)A³ Ln-nA; Ln+v-(n+v)A³ Ln-nA,
u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0
исключено в силу предложений относительно А.
ЗАДАЧА № 12
Пусть относительно числовой
последовательности l1, l2, l3, … , lm,
… предполагается лишь, что
.
Пусть, далее, А>l1. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются
все неравенства
.
Если А®¥, то также n®¥.
РЕШЕНИЕ:
Пусть
l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1,
2, 3, …; L0=0.
Так как L1-A<0, то L0-0
не является минимумом в предыдущем решении. ln+1³A; поэтому ln+1, а
следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с А.
ЗАДАЧА № 13
Пусть числовая последовательность l1,
l2, l3, … , lm, … удовлетворяет условиям
,
Пусть, далее, l1>A>0. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно
выполняются все неравенства
.
Если А®0, то также n®0.
РЕШЕНИЕ:
Положим
l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1,
2, 3, …; L0=0.
Тогда . Последовательность
L0-0,
L1-A, L2-2A, L3-3A, …, Lm-mA, …
стремится к -¥. Пусть ее наибольший член
будет Ln-nA. Тогда интересующие нас неравенства будут выполняться
для этого номера n.
В последовательности L0,
L1, …, Lm, … содержится бесконечно много членов,
превышающих все предыдущие. Пусть Ls будет один из них. Тогда числа:
все положительны: коль скоро А
меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки
(n, Ln) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху
полигоном.