Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений
Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений
1. Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения , где - алгебраическая или трансцендентная функция.
Точные методы
решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные,
биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические).
В общем случае
решение данного уравнения находится приближённо в следующей последовательности:
1) отделение
(локализация) корня;
2)
приближённое вычисление корня до заданной точности.
2. Отделение корня. Отделение
действительного корня уравнения - это нахождение отрезка , в котором лежит только один корень
данного уравнения. Такой отрезок называется отрезком изоляции (локализации)
корня.
Наиболее удобным и наглядным является графический
метод отделения корней:
1) строится график
функции , и
определяются абсциссы точек пересечения этого графика с осью , которые и являются
корнями уравнения ;
2) если - сложная функция, то её
надо представить в виде так,
чтобы легко строились графики функций и . Так как , то . Тогда абсциссы точек пересечения этих
графиков и будут корнями уравнения .
Пример.Графически отделить корень уравнения .
Решение. Представим левую часть уравнения в виде
. Получим: Построим
графики функций
и
.
Абсцисса точки пересечения
графиков находится на отрезке , значит корень уравнения .
3. Уточнение корня.
Если искомый корень уравнения отделён, т.е. определён
отрезок , на котором
существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо
найти приближённое значение корня с заданной точностью.
Такая задача называется задачей
уточнения корня.
Уточнение корня можно производить
различными методами:
1) метод половинного деления
(бисекции);
2) метод итераций;
3) метод хорд (секущих);
4) метод касательных (Ньютона);
5) комбинированные методы.
4. Метод половинного деления
(бисекции).
Отрезок изоляции корня можно уменьшить
путём деления его пополам.
Такой метод можно применять, если
функция непрерывна
на отрезке и на
его концах принимает значения разных знаков, т.е. выполняется условие (1).
Разделим отрезок пополам точкой , которая будет приближённым
значением корня .
Для уменьшения погрешности
приближения корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжают
делить отрезки, содержащие корень, пополам.
Из отрезков и выбирают тот, для которого выполняется неравенство
(1).
В нашем случае это отрезок , где .
Далее повторяем операцию деления
отрезка пополам, т.е. находим и так далее до тех пор, пока не будет
достигнута заданная точность . Т.е. до тех пор, пока не перестанут
изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства .
Достоинство метода: простота
(достаточно выполнения неравенства (1)).
Недостаток метода: медленная
сходимость результата к заданной точности.
Пример. Решить уравнение методом половинного деления с
точностью до 0,001.
Решение.Известен отрезок изоляции
корня и заданная
точность . По
уравнению составим функцию .
Найдём значения
функции на концах отрезка:
, .
Проверим выполнение
неравенства (1): -
условие выполняется, значит можно применить метод половинного деления.
Найдём середину
отрезка и
вычислим значение функции в полученной точке:
, .
Среди значений и выберем два значения разных знаков, но
близких друг к другу. Это и . Следовательно, из отрезков и выбираем тот, на концах которого
значения функции разных знаков. В нашем случае это отрезок и опять находим середину отрезка и
вычисляем значение функции в этой точке:
, , , - заданная точность результата не достигнута,
продолжим вычисления.
, , , .
, , , .
, , , .
, , , .
, , , .
, , , .
, , , .
, , , .
, - заданная точность результата
достигнута, значит, нашли приближённое значение корня .
Ответ: корень
уравнения с
точностью до 0,001.
5. Метод
хорд (секущих).
Этот метод
применяется при решении уравнений вида , если корень уравнения отделён, т.е. и выполняются условия:
1) (функция принимает значения разных знаков на
концах отрезка );
2) производная сохраняет знак на отрезке (функция либо возрастает, либо
убывает на отрезке ).
Первое приближение
корня находится по формуле: .
Для следующего
приближения из отрезков и
выбирается тот,
на концах которого функция имеет значения разных знаков.
Тогда второе
приближение вычисляется по формуле:
, если или , если .
Вычисления продолжаются
до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно
оставить в ответе.
6. Метод
касательных (Ньютона).
Этот метод
применяется, если уравнение имеет корень , и выполняются условия:
1) (функция принимает значения разных
знаков на концах отрезка );
2) производные и сохраняют знак на отрезке (т.е. функция либо возрастает, либо
убывает на отрезке ,
сохраняя при этом направление выпуклости).
На отрезке выбирается такое число , при котором имеет тот же знак, что и , т. е. выполняется условие
. Таким образом,
выбирается точка с абсциссой , в которой касательная к кривой на отрезке пересекает ось . За точку сначала удобно выбирать
один из концов отрезка.
Первое приближение
корня определяется по формуле: .
Второе приближение
корня определяется по формуле: .
Вычисления ведутся
до совпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или при заданной
точности - до
выполнения неравенства .
Достоинства метода:
простота, быстрота сходимости.
Недостатки метода:
вычисление производной и трудность выбора начального положения.
7. Комбинированный
метод хорд и касательных.
Если выполняются
условия:
1) ,
то приближения
корня уравнения по методу хорд и по методу
касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому
для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к.
один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то
достаточно легко получить заданную степень точности корня.
Схема решения уравнения методом хорд
и касательных
1.
Вычислить значения функции
и .
2.
Проверить выполнение
условия . Если
условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок .
3.
Найти производные и .
4.
Проверить постоянство
знака производных на отрезке . Если нет постоянства знака, то неверно
выбран отрезок .
5.
Для метода касательных
выбирается за тот
из концов отрезка ,
в котором выполняется условие , т.е. и одного знака.
6.
Приближения корней находятся:
а) по методу
касательных: ,
б) по методу хорд: .
7.
Вычисляется первое
приближение корня: .
8.
Проверяется выполнение
условия: , где - заданная точность.
Если условие
не выполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1-8.
В этом случае
отрезок изоляции корня сужается и имеет вид . Приближённые значения корня находятся по
формулам:
и .
Вычисления
продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение , при котором и совпадут с точностью .
Пример. Решить
уравнение методом
хорд и касательных с точностью 0,001, если известно, что корень уравнения .
Решение.
1.
Вычислим значения функции на концах отрезка: , .
2.
Проверим выполнение
условия: -
условие выполняется.
3.
Найдём производные: и .
4.
На отрезке производные и , т.е. сохраняют знак, следовательно,
условие выполняется.
5.
Выберем значение для метода касательных.
Т.к. и , то .
6.
Найдём приближения корня:
а) по методу
касательных:
б) по методу
хорд: .
7.
Найдём первое приближение
корня: .
8.
Проверим выполнение условия:
- условие не
выполняется, значит нужно продолжить вычисления.
9.
Отрезок изоляции корня
имеет вид: .
10. Продолжим
уточнение корня по схеме. Для этого найдём значения функции на концах суженного
отрезка:
, .
11. Проверим условие: - выполняется, значит
можно продолжить применение метода.
12. Так как и на отрезке, то для метода касательных: .
13. Вычислим значение
производной: .
14. Найдём новые
значения концов отрезка изоляции:
, .
15. Найдём второе
приближение корня: .
16. Проверим
выполнение условия: -
неравенство неверное, значит необходимо продолжить вычисления.
17. Отрезок изоляции
корня имеет вид: .
18. Вычислим значения
функции:
, .
19. Условие - выполняется.
20. Так как и на , то для метода касательных .
21. Вычислим
производную: .
22. Вычислим: ,
.
23. Найдём третье
приближение корня: .
24. Проверим
выполнение неравенства: -
условие выполняется, значит, цель достигнута.
25. Следовательно, или - приближённое значение корня с
точностью до 0,001.
Ответ: .
9. Задания для
расчётных работ.
Решить
уравнение методами:
а) бисекции,
б) хорд и касательных.
Вариант
|
Вид алгебраического уравнения
|
Корень, который необходимо вычислить
|
1
|
|
единственный
|
2
|
|
единственный
|
3
|
|
единственный
|
4
|
|
единственный
|
5
|
|
единственный
|
|
единственный
|
7
|
|
единственный
|
8
|
|
единственный
|
9
|
|
положительный
|
10
|
|
единственный
|
11
|
|
положительный
|
12
|
|
единственный
|
13
|
|
больший отрицательный
|
14
|
|
единственный
|
15
|
|
единственный
|
16
|
|
единственный
|
17
|
|
единственный
|
18
|
|
единственный
|
19
|
|
единственный
|
20
|
|
единственный
|
21
|
|
единственный
|
22
|
|
меньший положительный
|
23
|
|
единственный
|
24
|
|
меньший положительный
|
25
|
|
единственный
|
26
|
|
единственный
|
27
|
|
единственный
|
28
|
|
единственный
|
29
|
|
30
|
|
единственный
|
31
|
|
меньший положительный
|
32
|
|
единственный
|
33
|
|
больший отрицательный
|
34
|
|
единственный
|
35
|
|
единственный
|
36
|
|
единственный
|
37
|
|
меньший положительный
|
38
|
|
единственный
|
39
|
|
единственный
|
40
|
|
единственный
|