Матрицы, Метод Гаусса

Матрицы, Метод Гаусса

КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ

Кафедра «Автоматизации управления войсками»

Только для преподавателей

"Утверждаю"

Начальник  кафедры № 9

полковник            ЯКОВЛЕВ А.Б.

«____»______________ 2004 г.

доцент                              СМИРНОВА А.И.

"МАТРИЦЫ. МЕТОД ГАУССА"

ЛЕКЦИЯ  № 2 / 3

Обсуждено на заседании кафедры № 9

«____»___________ 2003г.

Протокол  № ___________

Кострома, 2003

Cодержание

Введение

1. Действия над матрицами.

2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Заключение

Литература

1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,том I, гл.2,§6, 7.

2. В.С. Щипачев,  Высшая математика, гл. 10, § 1, 7.

ВВЕДЕНИЕ

На лекции рассматривается понятие матрицы, действия над над матрицами, а также метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Для частного случая, так называемых квадратных матриц, можно вычислять определители, понятие о которых рассмотрено на предыдущей лекции. Метод Гаусса является более общим, чем рассмотренный ранее метод Крамера решения линейных систем. Разбираемые на лекции вопросы используются в различных разделах математики и в прикладных вопросах.

1-ый учебный вопрос               ДЕЙСТВИЯ  НАД  МАТРИЦАМИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.   Прямоугольная  таблица из m,  n чисел, содержащая  m – строк  и   n – столбцов, вида:

называется     матрицей  размера    m ´ n

Числа, из которых составлена матрица, называются  элементами матрицы.

Положение элемента а_{i j}  в матрице характеризуются двойным индексом:

          первый  i – номер строки;

          второй  j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…

Коротко можно записывать так:   

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.   Матрица,  у  которой  число  строк равно числу столбцов, т.е.  m = n ,  называется    квадратной.

Число  строк  (столбцов)  квадратной  матрицы   называется порядком      матрицы.

ПРИМЕР.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.  Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа. В математике и ее приложениях встречаются матрицы, элементами которых являются другие объекты, например, функции, векторы.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.  Матрица – специальное математическое понятие. С помощью матриц удобно записывать различные преобразования, линейные системы и т.д., поэтому матрицы часто встречаются в математической и технической литературе.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.   Матрица   размера   1 ´ n,   состоящая  из  одной   строки,  называется    матрицей – строкой.                                   

   Матрица  размера  т ´ 1,   состоящая   из  одного   столбца, называется     матрицей – столбцом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.     Нулевой  матрицей  называют   матрицу,  все  элементы   которой   равны   нулю.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

                                                                            побочная диагональ

                                                                                                                                             главная диагональ

Диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого элемента таблицы к правому нижнему, называется  главной  диагональю  матрицы  (на главной диагонали стоят элементы вида  а _{i i}).

Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, называется побочной диагональю матрицы.

Рассмотрим некоторые частные виды квадратных матриц.

1) Квадратная матрица называется  диагональной, если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю.

2) Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется  единичной. Обозначается:

3) Квадратная матрица называется  треугольной,  если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:

                                            верхняя                                   нижняя      

                                треугольная  матрица            треугольная  матрица

Для квадратной матрицы вводится понятие: определитель матрицы. Это определитель, составленный из элементов матрицы. Обозначается:

Ясно, что определитель единичной матрицы равен 1:   ½Е½ = 1

ЗАМЕЧАНИЕ.   Неквадратная матрица определителя не имеет.

Если определитель квадратичной матрицы отличен от нуля, то матрица называется    невырожденной,  если определитель равен нулю, то матрица называется вырожденной.

Матрицу, транспонированную к  А, обозначают  А^Т.

ПРИМЕР.

                                          2  3                                       3  2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.  Две матрицы одного и того же размера называются равными, если равны все их соответственные элементы.

Рассмотрим  действия над матрицами.

СЛОЖЕНИЕ  МАТРИЦ.

Операция сложения вводится только для матриц одинакового размера.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.     Суммой двух матриц А = (а_{i j}) и  В = (b_{i j})  одинакового  размера называется матрица  С = (с_{i j})  того же размера,   элементы которой равны  суммам  соответствующих  элементов  слагаемых   матриц, т.е.     с _{i j  =}  a _{i  j} + b _{i  j}

Обозначается  сумма  матриц  А + В.

ПРИМЕР.

УМНОЖЕНИЕ  МАТРИЦ  НА  ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ  ЧИСЛО

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Чтобы умножить матрицу на число k,  надо умножить   на это число каждый элемент  матрицы:

если А= (а _{i j} ), то k · A= (k · a _{i j} )

                ПРИМЕР.

СВОЙСТВА   СЛОЖЕНИЯ   МАТРИЦ   И  УМНОЖЕНИЯ  НА  ЧИСЛО

1. Переместительное свойство:       А + В = В + А

2. Сочетательное свойство:             ( А + В ) + С = А + ( В + С )

3. Распределительное свойство:     k · ( A + B ) = k A + k B, где  k  – число

УМНОЖЕНИЕ  МАТРИЦ

Матрицу А назовем   с о г л а с о в а н н о й   с матрицей  В , если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В , т.е. для согласованных матриц матрица А имеет размер m ´ n , матрица В  имеет размер n ´ k . Квадратные матрицы согласованы, если они одного порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Произведением матрицы А размера m ´ n на матрицу В размера n ´ k  называется матрица С размера   m ´ k,  элемент которой а_{i j} ,  расположенный  в  i –ой строке и  j – ом столбце, равен сумме   произведений   элементов   i – ой  строки  матрицы  А   на соответствующие   элементы   j – столбца   матрицы  В,   т.е. 

c _{i j} = a _{i 1}  b _{1 j} + a _{i 2} b _{2 j} +……+ a _{i n} b _{n j}

Обозначим:    С = А ·  В.

Если   то

Произведение В ´ А не имеет смысла, т.к. матрицы  не согласованы.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.    Если  А ´ В имеет смысл, то В ´ А может не иметь смысла.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.    Если имеет смысл А ´ В и В ´ А, то, вообще говоря

А ´ В ¹ В ´ А,  т.е. умножение матриц не обладает   переместительным законом.

          ЗАМЕЧАНИЕ 3.    Если А – квадратная матрица и Е – единичная матрица того же  порядка, то А ´ Е = Е ´ А = А.

Отсюда  следует, что единичная матрица при умножении играет роль единицы.

ПРИМЕРЫ.   Найти , если можно, А ´ В и В ´ А.

1.

Решение: Квадратные матрицы одного и того же второго порядка согласованы в томи другом порядке, поэтому А ´ В и В ´ А существуют.

2. 

Решение:   Матрицы А и  В согласованы

Матрицы В и  А не согласованы,  поэтому В ´ А  не  имеет смысла.

Отметим, что в результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица–множимое и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.

СВОЙСТВА  УМНОЖЕНИЯ  МАТРИЦ

1. Сочетательное свойство: А ´ ( В ´ С ) = (А ´ В ) ´С

2. Распределительное свойство:  (А + В) ´ С =  А ´ С +  В ´С

Можно показать, что , если А и В – две квадратные матрицы одного порядка с определителями ½ А ½ и ½ В ½, то определитель матрицы С = А ´ В равен произведению определителей перемножаемых матриц, т.е.

½С½ = ½ А ½ ½ В ½

Отметим следующий любопытный факт. Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т.е. произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль - матрице.

Действие "деление" для матриц не вводится. Для квадратных невырожденных матриц вводится обратная матрица. С понятием обратной матрицы можно познакомиться в рекомендуемой литературе.

2 – ой учебный вопрос        РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

     УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА

Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных) применим для решения систем линейных уравнений, в которых число неизвестных может быть либо равно числу уравнений, либо отлично от него.

Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

x₁ , x₂,  …,  x_n – неизвестные.

a_{i j} - коэффициенты при неизвестных.

b_i - свободные члены (или правые части)

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:

1. перемена местами двух любых уравнений;

3. прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную ей.

Элементарные преобразования системы используются в методе Гаусса.

Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение:

Дана система:

                            ( 1 )

1-ый шаг метода Гаусса.

На первом шаге исключим неизвестное х₁ из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а₁₁. Получим уравнение:

                                             ( 2 )

где

Исключим х₁ из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение  (2), умноженное на коэффициент при х₁ (соответственно а₂₁ и а₃₁).

Система примет вид:

                                                  ( 3 )

Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы.

2-ой шаг метода Гаусса.

На втором шаге исключим неизвестное х₂ из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение:

                                                           ( 4 )

где 

Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение:

Предполагая, что находим

В результате преобразований система приняла вид:

                                                                 (5)

Система вида (5) называется треугольной.

Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса.

Нахождение  неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.

Для этого найденное значение  х₃  подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х₂.  Затем х₂  и  х₃  подставляют в первое уравнение и находят х₁.

В общем случае для системы т линейных уравнений с п неизвестными проводятся аналогичные преобразования. На каждом шаге исключается одно из неизвестных из всех уравнений, расположенных ниже ведущего уравнения.

Отсюда другое называние метода Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.

Если  в  ходе  преобразований  системы  получается  противоречивое  уравнение  вида 0 = b, где b ¹ 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет.

В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному  или к  ступенчатому  виду.

Треугольная система  имеет вид:

Такая система имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного хода метода гаусса.

Ступенчатая система имеет вид:

Такая система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы найти эти решения, во всех уравнениях системы члены с неизвестными х_k+1,  … , x_k переносят в правую часть. Эти неизвестные называются свободными  и придают им произвольные значения. Из полученной треугольной системы находим х₁, … , x_k, которые будут выражаться через свободные неизвестные. Подробнее об этом можно узнать в рекомендуемой литературе.

Рассмотренный метод Гаусса легко программируется на ЭВМ и является более экономичным (по числу действий),  чем другие методы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренные на лекции матрицы являются удобным инструментом для записи различных математических преобразований и широко используется в научно-технической литературе. Метод Гаусса позволяет решать любые линейные системы, он находит широкое применение и содержится в пакетах стандартных программ для ЭВМ.

доцент                                  Смирнова А.И.