Интересные примеры в метрических пространствах
Интересные примеры
в метрических пространствах:
1. В n-мерном
евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной
ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно
большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а
значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.
1.
Единичная сфера S в пространстве l2 дает
нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки
вида:
е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
…………………………,
еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
………………………….
Расстояние между любыми двумя точками еn
и ем (n¹m) равно Ö2. Поэтому последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e<Ö2/2.
2.
Рассмотрим в l2 множество
П точек
x=(x1, x2, ¼, xn, ...),
удовлетворяющих
условиям:
| x1|£1, | x2|£1/2, ¼,| xn|£1/2n-1, ...
Это множество
называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем»)
пространства l2. Оно
представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для
доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.
Пусть e>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1<e/2. Каждой точке x=(x1, x2, ¼,
xn, ...)
из П сопоставим
точку x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...)
из того же
множества. При этом
r(x,x*)=£<1/2n-1<e/2.
Множество П*
точек вида x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) из П вполне
ограничено (как ограниченное множество в n-мерном
пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть.
Она будет в то же время e-сетью
во всем П. Докажем это.
Доказательство: для "e>0, выберем n так,
что 1/2n-1<e/2.
x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) и x*ÎП. При этом r(x,x*)<e/2. Из пространства П
выберем x**: r(x*,x**)<e/2.
Тогда: r(x,x**)£r(x,x*)+r(x*,x**)<e/2+e/2=e.
Множество П*
содержит точки вида x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...), в этом множестве выберем
конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П, так как r(x,x**)<e.