О физическом смысле векторного потенцила электромагнитного поля

О физическом смысле векторного потенцила электромагнитного поля

О ФИЗИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Сидоренков В.В.

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Показано, что поле электромагнитного векторного потенциала как физическая величина представляют собой полевой эквивалент локальных характеристик микрочастицы: ее электрическому заряду, кратному кванту электрического потока - заряду электрона, соответствует электрическая компонента векторного потенциала, а удельному (на единицу заряда) кинетическому моменту, кратному кванту магнитного потока, отвечает магнитная компонента векторного потенциала.

Полевая концепция природы электричества является фундаментальной основой классической электродинамики [1] и базируется на признании того факта, что взаимодействие разнесенных в пространстве электрических зарядов осуществляется с помощью электромагнитных полей. Свойства этих полей описываются системой электродинамических уравнений Максвелла, откуда непосредственно следуют и понятия электрического и магнитного векторных потенциалов, физический смысл которых, несмотря на определенный прогресс в установлении их физической значимости в приложениях квантовой механики [2, 3] и электродинамики [4, 5], по сей день остается по существу так и не выясненным.

Попытаемся разобраться в этом вопросе, для чего воспользуемся системой указанных уравнений электромагнитного поля [1]:

(a)  ,                (b) ,  

(c)  ,          (d) .     (1)   

включающей в себя так называемые материальные соотношения:

,         ,         ,                    

описывающие отклик среды на наличие в ней электромагнитных полей. Здесь  и   векторы напряженности электрического и магнитного полей, связанные с соответствующими векторами индукции  и ,   вектор плотности электрического тока,   объемная плотность стороннего заряда,   и   электрическая и магнитная постоянные,  ,  и   удельная электрическая проводимость и относительные диэлектрическая и магнитная проницаемость среды, соответственно.

Представления о векторных потенциалах возникают как следствие того, что дивергенция ротора любого вектора тождественно равна нулю. Поэтому магнитный векторный потенциал  можно ввести посредством дивергентного соотношения  системы уравнений (1), а электрический   соотношением , описывающим поляризацию локально электронейтральной среды:

а)   ,      (b)   .     (2)

Однозначность функций векторных потенциалов, то есть чисто вихревой характер таких полей, обеспечивается условием калибровки: . Видно, что с физической точки зрения рассматриваемые потенциалы являются поляризационными потенциалами.

Тогда подстановка соотношения (2a) в уравнение вихря электрической напряженности (1а) приводит к известной формуле [1, 2] связи поля вектора указанной напряженности с магнитным векторным потенциалом:

,     (3)   

описывающей закон электромагнитной индукции Фарадея. Электрический скалярный потенциал:  здесь не рассматривается, как не имеющий отношения к обсуждаемым в работе вихревым полям.

При аналогичной подстановке соотношения (2b) в уравнение вихря магнитной напряженности (1c) с учетом закона Ома процесса электропроводности  получаем в итоге связь этой напряженности с электрическим векторным потенциалом:                                                           

,     (4) 

где   постоянная времени релаксации электрического заряда в среде за счет электропроводности. Таким образом, согласно соотношениям (3) и (4), векторные потенциалы – это не математические фикции, а физически значимые фундаментальные поля, порождающие традиционные вихревые электромагнитные поля. Подробное обсуждение физической значимости векторных потенциалов в классической электродинамике представлено в работах [4, 5].

Как известно, физические представления об электрическом заряде имеют на микроуровне существенное дополнение: элементарная частица характеризуется не только значением заряда , кратного заряду электрона  , но и спином , трактуемым как собственный момент количества движения (кинетический момент) частицы. Величина этого момента квантована значением , где h  постоянная Планка. Согласно нашему предположению, сопоставим эти локальные характеристики микрочастицы и ее некое собственное первичное электромагнитное поле. Так, например, для электрона электрическая компонента этого поля соответствует кванту электрического потока  заряду e, а магнитная компонента – величине его удельного (на единицу заряда) кинетического момента , определяющей, как известно (например, [2]), квант магнитного потока. Наша задача показать далее, что введенное здесь гипотетическое собственное поле микрочастицы (совокупно, и макрообъекта) является именно полем электромагнитных векторных потенциалов.

Вначале рассмотрим электрический векторный потенциал . Для этого соотношение (2b) связи вектора электрической индукции и вектор-потенциала для большей наглядности и математической общности представим в интегральной форме:

 =  .     (5)

Эти интегральные соотношения устанавливают физически содержательное положение о том, что величина циркуляции вектора  по замкнутому контуру С определяется электрическим потоком  через поверхность  , опирающейся на этот контур, следовательно, поляризационным электрическим зарядом , индуцированным на указанной поверхности. Отсюда, в частности, следует определение поля вектора электрического смещения , по величине равного плотности поляризационного заряда  на пробной площадке, ориентация которой в данной точке создает на ней максимальное значение этого заряда, а нормаль к площадке указывает направление вектора . Определение  как потокового вектора показывает его принципиальное отличие от линейного (циркуляционного) вектора напряженности , являющегося силовой характеристикой электрического поля.

Таким образом, согласно соотношению (5), электрическому заряду  отвечает его полевой эквивалент - поле электрического векторного потенциала , размерность которого есть линейная плотность электрического заряда. В итоге, с целью реализации нашего предположения введем понятие первой фундаментальной корпускулярно-полевой пары  с единицами измерения в системе СИ  КулонКулон/метр.

Здесь и далее обсуждаются именно размерности физических величин, а использование в рассуждениях конкретной системы единиц их измерения не принципиально.      

Корпускулярно-полевые представления подтверждаются и соотношением (4) связи напряженности магнитного поля  и электрического векторного потенциала  с единицей измерения Ампер/метр, которое есть ни что иное, как полевой эквивалент полного электрического тока  (токов проводимости и смещения), величина (сила тока) которого имеет единицу измерения Ампер. Как видим, сопоставление соотношения (4) для вихревых полей  и  с понятием силы электрического тока снова  приводит к корпускулярно-полевой паре АмперАмпер/метр, являющуюся очевидным прямым физическим следствием первой фундаментальной пары. 

Перейдем теперь к магнитному векторному потенциалу и проанализируем соотношения связи поля вектора  с полями векторов магнитной индукции  (2a) и электрической напряженности  (3). Данные соотношения, несмотря на свою широкую известность [1, 2, 6], как нам представляется, трактуют не совсем корректно, поскольку в них исходно неверно определена размерность вихревого поля магнитного векторного потенциала  импульс на единицу заряда. Попытаемся далее аргументировано обосновать это чрезвычайно серьезное, но пока декларативное критическое заявление о физической размерности вектора .

Начнем с общеизвестного. Поскольку вектор электрической напряженности  измеряется в системе СИ как Вольт/метр, либо математически (но не физически) тождественно Ньютон/Кулон, то, согласно соотношению (3) связи магнитного векторного потенциала  с вектором , единица измерения вектора  будет (Ньютон·сек)/Кулон, то есть имеет размерность импульс на единицу заряда. Следовательно, соотношение (3) можно назвать полевым аналогом уравнения динамики поступательного движения в механике (II закон Ньютона). Действительно, указанную выше размерность магнитного векторного потенциала, другими словами, его физический смысл находят в работе [2] при анализе действия вихревого поля вектора  на точечный электрический заряд посредством именно II закона Ньютона, обычного механического. Однако обобщать такие выводы, полученные в рамках уравнения динамики поступательного движения, на случай макрообъекта (в виде совокупности взаимодействующих точечных зарядов), находящегося в вихревых полях, мягко говоря, весьма сомнительно.

Для прояснения сложившейся ситуации рассмотрим далее соотношение (2а), которое представим для большей наглядности в интегральной форме:

.     (6)

Видно, что величина циркуляции вектора  по контуру С определяется магнитным потоком через поверхность S_C и имеет единицу измерения в СИ Вебер = (Джоуль∙секунда)/Кулон, что соответствует модулю момента импульса на единицу заряда. При этом размерность магнитного векторного потенциала  может быть двоякой: либо указанная выше импульс на единицу заряда, либо ей альтернативная линейная плотность момента импульса на единицу заряда. Конечно, с формальной точки зрения обе размерности вектора , выраженные через единицы измерения, математически тождественны, но физически это принципиально различные величины.

Целесообразно отметить, что сам Максвелл призывал ответственно относиться к математическим операциям над векторами электромагнитного поля и физической трактовке таковых. Вот его слова: “В науке об электричестве электродвижущая и магнитная напряженности принадлежат к величинам первого класса – они определены относительно линии. … Напротив, электрическая и магнитная индукция, а также электрические токи принадлежат к величинам второго класса – они определены относительно площади”. ([6] п. 12). И далее более конкретно: “В случае напряженности следует брать интеграл вдоль линии от произведения элемента длины этой линии на составляющую напряженности вдоль этого элемента. … В случае потоков следует брать интеграл по поверхности от потока через каждый ее элементов”. ([6] п. 14). Не преувеличивая, трактат Максвелла можно назвать физическими основами математического анализа, поскольку в нем свойства используемых математических моделей максимально подчинены стремлению автора адекватно описать физические представления о рассматриваемых явлениях. Однако, к сожалению, в настоящее время даже в учебной литературе повсеместно встречается “” и “”, “” и “”. Такое формальное использование математики попросту игнорирует физическое содержание соотношений электродинамики, создает путаницу физических понятий, мешая действительно разобраться в них. Все это усугубляется применением абсолютной системы единиц СГС, когда безразмерные  коэффициенты e₀  = 1 и  m₀  = 1 делают векторы  и ,  и  сущностно тождественными, где Эрстед и Гаусс равны в пустоте, а в средах различаются только численно. О предпочтительности в классической электродинамике международной системы единиц физических величин СИ в сравнении с абсолютной системой единиц СГС говорится также в работах [4, 5].

Для нас здесь существенно то, что, согласно Максвеллу, в электродинамике циркуляционные (линейные) векторы  и  имеют размерность линейной плотности физической величины, а потоковые векторы ,  и  – ее поверхностной плотности. В частности, размерность вектора магнитной индукции  равна поверхностной плотности момента импульса на единицу заряда, в системе СИ  Тесла. Экспериментально это ярко иллюстрируется эффектом Эйнштейна-де Гааза [1], где в материальной среде при ее однородном намагничивании возникает механический момент вращения, направленный коллинеарно полю, обусловленный упорядочением собственных магнитных моментов, соответственно, моментов количества движения электронов в атомах вещества среды. Следовательно, поле вектора  выявляет в среде момент импульса, порождающий ее вращение. Поэтому, согласно соотношению (2а), размерностью вихревого поля магнитного векторного потенциала  следует считать линейную плотность момента импульса на единицу заряда. Итак, в формулах (6) локальной характеристике микрочастицы  моменту импульса на единицу заряда сопоставляется его полевой эквивалент  магнитный векторный потенциал , что дает вторую фундаментальную корпускулярно-полевую пару, которую, например, для электрона  можно записать как  с единицами измерения (Джоуль∙секунда)/ Кулон(Джоуль∙секунда)/(Кулон∙метр).

Вернемся к соотношению (3) связи вектора  с вектором . Как теперь здесь показано, размерность вихревого поля вектора электрической напряженности  однозначно равна линейной плотности момента силы на единицу заряда, что естественно нисколько не опровергает единицу измерения этого вектора Вольт/метр, а лишь уточняет ее физический смысл. Таким образом, в действительности соотношение (3) представляет собой полевой аналог основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела в механике, что полностью согласуется с  рассмотренными выше корпускулярно-полевыми представлениями.

Подводя итог, с приходим к заключению, что векторные потенциалы – это не математические фикции, а фундаментальные первичные поля, поскольку именно они порождают традиционные вихревые электромагнитные поля в классической электродинамике. Важно при этом подчеркнуть, что с точки зрения проявления физических свойств [4, 5] рассматриваемые потенциалы логично называть поляризационными потенциалами. Установленная здесь принципиальная двойственность физических параметров электрического заряда говорит о реальном существовании «корпускулярно-полевого дуализма» природы электричества, у которого, в отличие от схожего лишь по названию «корпускулярно-волнового дуализма» в квантовой механике, континуальные компоненты являются векторным полем, и он реализуется на микро- и макроуровнях строения материи. Фундаментальность концепции указанного дуализма обусловлена тем, что локальные характеристики микрочастицы (совокупно, и макрообъекта) находятся в неразрывной связи с их собственными полевыми параметрами: электрическому заряду, кратному кванту электрического потока  заряду электрона |e^-|, соответствует электрический векторный потенциал , а ее удельному (на единицу заряда) кинетическому моменту, кратному кванту магнитного потока , отвечает магнитный векторный потенциал . В качестве конкретной иллюстрации вышесказанного имеем из (5) и (6) для точечного заряда, например электрона, следующие выражения:  и . где  и   орты сферической системы координат.

Как видим, полученные результаты представляют общефизический интерес, требуют дальнейшего серьезного развития и, в частности, могут служить вместе с материалом работ [4, 5] непосредственным введением в новую перспективную область исследований связи классической электродинамики с микромиром.

Литература:

1.   Матвеев А.Н.  Электродинамика. - М.: Высшая школа, 1980. - 383 с.

2. Антонов Л.И., Миронова Г.А., Лукашёва Е.В., Чистякова Н.И. Векторный   магнитный потенциал в курсе общей физики / Препринт № 11. - М.: Изд-во МГУ, 1998. - 47 с.

4. Сидоренков В.В. Развитие физических представлений о процессе электрической проводимости в металле // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2005. - № 2. - С. 35-46.

5. Сидоренков В.В. Обобщение физических представлений о векторных потенциалах в классической электродинамике // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2006. - № 1. - С. 28-37.

6. Максвелл Дж. К.  Трактат  об  электричестве  и  магнетизме.  В 2-х томах. - М.: Наука, 1989.