Изображение токов и напряжений комплексными числами
Изображения
токов и напряжений комплексными числами
Рассмотрим
мгновенное значение тока .
Покажем,
что вращающийся вектор на комплексной плоскости соответствует этому току.
Вектор, изображённый на комплексной плоскости, записывается
аналитически –
- формула Эйлера,
где
- оператор поворота на угол
a
- оператор вращения со
скоростью ω.
Следовательно
Произведение
обозначается и называется комплексной
амплитудой тока. Аналогично мгновенные значения напряжения и ЭДС будут –
Здесь
и комплексные амплитуды
напряжения и ЭДС.
В
расчёте можно оперировать и действующими значениями величин –
; ; .
Символический
метод, основанный на изображении векторов комплексными числами введён
Штейнмецом, у нас развит ?????????.
Связь
комплексных амплитуд тока и напряжения в пассивных элементах электрической цепи
Законы
Кирхгофа для токов и напряжений, представленных комплексными амплитудами
Теперь
объединим рассмотренные элементы в последовательную цепь с заданным током.
Тогда ЭДС, приложенная к этой цепи, будет –
Это
соотношение представляет собой второй закон Кирхгофа для комплексных амплитуд
напряжения и тока.
Соединяя
те же элементы в параллельную цепь с известной ЭДС, определяем ток источника –
Полученное
равенство представляет собой первый закон Кирхгофа для комплексных амплитуд
напряжения и тока.
Законы
Кирхгофа в комплексной форме записи представлены алгебраическими уравнениями,
поэтому для расчёта цепей переменного тока методом комплексных амплитуд можно
применять все методы обоснованные ранее – метод контурных токов, узловых
потенциалов, наложения и эквивалентного генератора.
Расчёт
цепи переменного тока так же, как и расчёт цепи постоянного тока, иногда
удаётся значительно упростить, применив преобразование соединения трёхлучевой
звезды в соединение треугольник и наоборот.
Ввиду
особой важности этого преобразования, весьма часто применяемого при расчёте
трёхфазных цепей, приведём формулы для перехода от одного вида преобразования к
другому и наоборот.